小升初冲刺数学 第19讲杂题综合（讲义）-六年级下册数学人教版

第19讲 杂题综合 本讲内容 1、抽屉原理 2、最值问题 3、操作类 知识导航 模块一 抽屉原理 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。 (1) 抽屉原理的定义 1. 举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 2. 定义：一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果.我们称这种现象为抽屉原理。 (2) 抽屉原理的解题方案 1. 利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 2. 利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 例题精讲 【例1】 在一幅扑克牌中，最少要拿出________张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有。 【巩固】 一只鱼缸有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出________条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼。 【例2】 口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： （1）至少取________根才能保证三种颜色都取到。 （2）至少取________根才能保证有2双颜色不同的筷子。 （3）至少取________根才能保证有2双颜色相同的筷子。 【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有________个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样。 【例3】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 【巩固】 四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由。 【例4】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。 【巩固】 求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得是105的倍数。 【例5】 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。 【巩固】 从1，2，3，……，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？ 知识导航 模块二 最值原理 解决数论中的最值问题思想方法：极端分析和局部调整．即先假设一个最大或者最小的，如果不满足条件，再局部调整． 最值原理：和一定，差小积大； 积一定，差小和小。 例题精讲 【例6】 （1）一个偶数的数字和是40，则这个偶数最小是 。 （2）一个各个数位互不相同的四位数能被1，2，3，4，5，6，7整除，那么这个数最大是 。 （3）一个数各数位上的数字的和是17，而且各数位上的数字都不相同且不为0，符合条件的最小数是 ，最大数是 。 【巩固】 （1）一个各个数位互不相同的六位数能被9整除，求这个数最大是多少？ （2）一个各个数位不同的六位数能被1、2、3、4、5、6整除，这个数最大是多少？ 【例7】 有13个不同的非零自然数，它们的和是100．请问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？ 【例8】 十个非零自然数（可相同）之和等于1001，则这十个数的最大公因数是 。 【例9】 如果将110分拆成11个质数之和．要求其中最大的质数尽可能大，那么，这个最大的质数为 。 【例10】 如果两个质数的差恰好是2，称这两个质数为一对孪生质数．例如3和5是一对孪生质数，29和31也是一对孪生质数。在数论研究中，孪生质数是最热门的研究课题之一。华裔数学家张益唐在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就，他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究。如果一对孪生质数中的两个质数都不超过200，这两个质数的和最大为 。 【巩固】 （1）一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大为 . （2）一个整数除以它的数码和后得到的余数为2