小升初冲刺——第18讲计数原理（讲义）人教版六年级下册数学

第19讲 计数原理 本讲内容 1、图形计数 2、加乘原理 3、容斥原理 课前练习 1.下图中有________个长方形？ 2.下图中有多少________个长方形？ A D C1 …… Cn-1 B D1 …… Dm-1 C 知识导航 模块一 位值原理的认识 归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系。 例题精讲 【例1】 下列图形中分别有①（ ）②（ ）个三角形 【例2】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分? 【例3】 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 【例4】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【巩固】 个三角形最多将平面分成几个部分？ 【例5】 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？ 【巩固】 在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分? 知识导航 模块二 加乘原理 1. 加乘原理的定义 1） 一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做法，…，第k类方法中有种不同做法，则完成这件事共有种不同方法，这就是加法原理． 2） 一般地，完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤，第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．这就是乘法原理。 2. 加法原理的常用方法 1) 2) 树形图：“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然． 3) 适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合。 3. 乘法原理的考题类型 1） 路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题； 2） 字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法； 3） 地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法； 4） 排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法； 5） 数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法． 例题精讲 【例6】 三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线。问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？ 【巩固】 直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？ 【例7】 用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？ 【巩固】 由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？ 【例8】 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数。 【巩固】 用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【例9】 写有1～100编号的灯100盏，亮着排成一排，第一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 【巩固】 50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3，…49，50一次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名？ 【例10】 现有1克、2克、4克、8克、16克、32克的砝码各一个，称东西的时候，砝码只能放在天平的一边，用这些砝码可以称出_______种不同的重量． 【例11】 如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发，走4步恰好回到A的路有_______条．(途中不再回A) 【巩固】 如右图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？ 【例12】 如右图，半圆及其直径上共有12个点，以这些点为顶点可画出_______个三角形。 【巩固】 小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数