4.4.2第2课时对数函数的性质及应用课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4 对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 第2课时 对数函数的性质及应用 1 学习指导 1.进一步掌握对数函数的图象与性质.（直观想象、数学抽象） 2.运用对数函数的性质解决对数型函数的奇偶性、单调性和简单值域等综合问题.（数学运算、逻辑推理） 2 关键能力 提升 课堂小结 课堂巩固 自测 3 关键能力 提升 01 4 考点一 对数型函数的单调性 例1（1） 函数 在区间 上的单调性为( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析：当 时，函数 .又函数 是增函数， 在区间 上单调递增，故 在区间 上单调递增.故选C. √ 关键能力 提升 5 （2）若函数 ,则 的单调递增区间为 ( ) A. B. C. D. 解析：令 , 解得 或 , 即 .因为 为减函数， 在区间 上单调递减， 所以函数 的单调递增区间为 . √ 关键能力 提升 6 求形如 的函数的单调区间的步骤 （1）求出函数的定义域. （2）研究函数 和函数 在定义域上的单调性. （3）判断函数的增减性，求出单调区间. ［注意］ 要注意对底数进行分类讨论. 关键能力 提升 7 【跟踪训练】 1.若函数 在区间 内单调递增， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：选B. 为减函数， 又 在区间 上单调递增，则 ， 且当 时， 恒成立，所以 ，解得 ， 则 .故选B. √ 关键能力 提升 8 2.函数 的单调递减区间是______． <m></m> 解析：要使函数 有意义，则 ， 即 ，解得 ， 即函数 的定义域为 . 令 ，则 在 上单调递减，根据复合函 数的单调性知， 要使函数 单调递减， 应使函数 单调递增，即 . 又函数 的定义域为 ， 所以函数 的单调递减区间是 . 关键能力 提升 9 考点二 对数（型）函数的值域与最值 例2 已知函数 ，且 . （1）当 时，求 的值域； 【解】由 得 ，则 的定义域为 ； 当 时， ， 当 时， （当且仅当 时取等号）， 所以 ，则 的值域为 . 关键能力 提升 10 （2）若 在 上的最大值大于2，求 的取值范围. 【解】 . 令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， ，所以 的值域为 ； 当 时， ，所以 ，解得 （舍）； 当 时， ，所以 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围为 . 关键能力 提升 11 求对数型函数值域（最值）的方法 （1）对于形如 ，且 的复合函数，其值域（最 值）的求解步骤如下: ①分解成 , 两个函数. ②求 的定义域. ③求 的取值范围. ④利用 的单调性求解. （2）当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化. 关键能力 提升 12 【跟踪训练】 1.已知函数 , ，则 的值域为( ) A. B. C. D. 解析：选D.因为 ，所以 ，所以 .故选D. √ 关键能力 提升 13 2.设函数 ， ，则 的值域为 _________. <m></m> 解析：因为 ，令 ，则 . 故函数 的值域为 . 关键能力 提升 14 考点三 对数函数性质的综合应用 例3 已知函数 ， ，且 ． （1）证明： 在定义域上是增函数； 证明：因为 ，所以 ， 所以 ，又 ，所以 ， 所以 ． 关键能力 提升 15 由 ，解得 ， 所以 的定义域为 ． 令 ，任取 , ，且 ， 则 ． 又 ， ， ， 所以 ， 即 ， 所以 在 上是增函数. 又 在 上是增函数，由复合函数的单调性知 在 上是增函数． 关键能力 提升 （2）若 ，求 的取值集合． 【解】因为 ， 所以原不等式可化为 ， 即 ． 由（1）知， 是增函数， 所以 ． 又 的定义域为 ， 所以 的取值集合为 . 关键能力 提升 17 解决综合性问题的注意点 （1）增强定义域意识:无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提. （2）增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性. 关键能力 提升 18 【跟踪训练】 已知函数 ． （1）若 为偶函数，求 ； 解：因为函数 为偶函数，所以 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 . 关键能力 提升 19 （2）若命题“ ， ”为假命题，求实数 的