3.3.2抛物线的简单几何性质第二课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 (第二课时) 例1. 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与它交于两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，通过点A和抛物线顶点的直线交准线于点C，求证： ， 证明1： 证明2：设直线 O x y B A F y O x . . . . . . . . A B F O x y B A F 证明3： 5 O x y B A F 6 抛物线的焦半径、焦点弦长公式 特别的：焦点弦垂直抛物线的对称轴，则其称为通径，长为2P（最短）. 几何法（作垂线构造直角三角形） 代数法（联立解方程组） 7 (7) 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. (6) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； 性质：过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线AB的倾斜角为α，则 x F A B K O y 8 例2、过抛物线的焦点任作一条直线,交这抛物线于两点,求证:以为直径的圆和这抛物线的准线相切． 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 如图.设的中点为,过分别向准线引垂线,垂足为, 则 ∴ 所以是以为直径的圆的半径,且, 因而圆和准线相切． 例2、过抛物线的焦点任作一条直线,交这抛物线于两点, 求证:以为直径的圆和这抛物线的准线相切． 证明1 思路1：几何法 证明2： M A B O x y F 思路2：代数法 （7）证明:以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. 证明： 连结 DF、CF， 则由|BF|=|BD|, 得∠BFD=∠BDF, 又 BD // x轴, ∴∠BDF=∠DFO, ∴∠BFD=∠DFO. 同理 ∠AFC=∠CFO. ∵∠BFD +∠DFO +∠CFO +∠AFC=180° ∴∠DFO +∠CFO =90° 即 ∠DFC =90°. ∴焦点F在CD为直径的圆上. 连结 NF， 则 |NF|=|ND|, ∴∠NFD=∠NDF, ∵∠BDF +∠NDF =90° ∴∠BFD +∠NFD =90° 而∠BFD=∠BDF, ∴ NF⊥AB ∴以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. 13 小结：抛物线焦半径的性质 (焦半径比例与倾斜角有关) (涉及焦半径比例时可用) (AB⊥x 轴时S最小) 上－下+ 抛物线x2＝－8y的通径为8 相似，定义，平行线等分线段成比例 小结：抛物线焦点弦的性质 (焦点弦中点到准线的距离) A B F x y D 图3.3-5 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可． A B F x y D 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． A B F x y D A B F K x y A B F K x y 例5. 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与它交于两点A、B，通过点A和抛物线顶点的直线交准线于点C，求证：直线CB∥x轴. 证明3： A B F K x y x y O M B C D E P 图3.3-6 O M B C D x y E P 图3.3-6 等价命题：设抛物线焦点F，经过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O. (7) 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. (6) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； 课堂小结：过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线AB的倾斜角为α，则 x F A B K O y 28 几何解释,就是 $$