第5.4.3讲 正切函数的图像与性质-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 第5.4.3讲 正切函数的图像与性质 一、学习目标 1.了解正切函数图像的画法，理解并掌握正切函数的性质，重点培养数学抽象核心素养． 2．能利用y＝tan x的性质与图像解决有关问题，重点提升数学运算核心素养． 二、重点难点 1、正切函数的定义域和值域问题 2、正切函数单调性的应用 3、正切函数性质与图像的应用 三、核心知识 　函数y＝tan x的性质 1．正切函数的定义域是什么？ 提示：. 2．诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 提示：周期性． 3．诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 提示：奇偶性，是奇函数． 4．从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？ 提示：是． 函数y＝tan x的性质 定义域 值域 R 周期性 最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间(k∈Z)内都是增函数 零点 正切函数y＝tan x的零点x＝kπ(k∈Z) 　函数y＝tan x的图像 我们利用正切函数的性质，能画出y＝tan x，x∈的简图吗？ 提示：∵y＝tan x是奇函数，∴先画x∈上的图像又y＝tan x在上是增函数，在上取几个点就可画出y＝tan x在上的图像，再关于原点对称即可得到y＝tan x在上的图像． 1．函数y＝tan x的图像． 2．正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z． (1)正切函数图像的对称中心与正弦、余弦函数的不同在于不只是y＝0处为对称中心，同时tan x没有意义的点也为对称中心． (2)正切曲线没有对称轴，但有无穷多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z. (3)正切函数与正弦函数在上的图像，在原点 O(0，0)处都与直线l：y＝x相切，并被直线l分割在两边(如图所示)． 由同一坐标系中两函数图像的位置关系得，当x∈时，不等式sin x＜x＜tan x成立． 三、核心例题 题型1、正切函数的定义域和值域问题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．使得不等式成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在（0，）内，使成立的的取值范围为（    ） A．（，） B． C． D． 题型2、正切函数单调性的应用 6．下列说法正确的是（   ） A．正切函数在定义域上是增函数 B．正切函数在第一、四象限是增函数 C．正切函数在每一个区间上都是增函数 D．正切函数在某一区间上是减函数 7．函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 8．函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 9．函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3、正切函数性质与图像的应用 11．函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   12．函数|在区间（，）内的图象是（   ） A． B． C． D． 13．已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D．或 15．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 3、 当堂达标 一、单选题 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 7．对于函数．四个命题中①函数周期为；②函数是奇函数；③函数的定义域为﹔④函数在上单调递增．其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期是 D．在内单调递增 二、多选题 9．下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为