1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时 距离问题）同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 一、必备知识基础练 1.已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为(　　) A.2 B. C. D. 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(　　) A. B. C. D. 3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　) A. B. C. D. 4.如图,直三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°, AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 5.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 二、关键能力提升练 6.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于(　　) A. B. C.2 D.5 7.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　) A.等于a B.和EF的长度有关 C.等于a D.和点Q的位置有关 8.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足,则下列说法正确的是(　　) A.点A到直线BE的距离是 B.点A到直线BE的距离是 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 9.正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　　. 10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离; (2)求AD到平面PBC的距离. 11.已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值. 参考答案 一、必备知识基础练 1.B　∵点A(1,-1,-1),点P(1,1,1),∴=(0,2,2), ∴||==2, 又直线l的方向向量为m=(1,0,-1), ∴点P(1,1,1)到l的距离d=,故选B. 2.C　建立空间直角坐标系,如图, 则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1), 所以点C1到直线EC的距离d=.故选C. 3.A　建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0), M,B(a,a,0),A1(a,0,a), ∴=(a,a,0),=(a,0,a). 设平面MBD的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2). ∴点A1到平面MBD的距离d=a. 4.　如图所示,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,), ∴=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0). 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z), 则 令z=1得x=-,y=0, ∴n=(-,0,1). ∴点B1到平面A1BC的距离d=. 5.解 (1)建立以D为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示. 则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F, 所以, 设平面PEF的法向量n=(x,y,z), 则 令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3), 所以点D到平面PEF的距离d=, 因此点D到平面PEF的距离为. (2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC. 又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF, 所以AC∥平面PEF. 因为, 所以点A到平面PEF的距离d=. 所以直线AC到平面PEF的距离为. 二、关键能力提升练 6.B　以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图, 则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2). 设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0, 将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-D, 所以方程可化为-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2