1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时 空间中直线、平面的垂直）同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时　空间中直线、平面的垂直 一、必备知识基础练 1.若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,=λ=3.若PN⊥BM,则λ=(　　) A. B. C. D. 3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(　　) A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC,MN都不垂直 4.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=.若α⊥β,则x-y=　　　　. 5.已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则P的坐标为　　　　　　　. 6.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形, PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD. 7.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE. 8.已知:如图,△ABC为正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,点F是BE的中点. (1)求证:DF∥平面ABC; (2)求证:AF⊥BD. 二、关键能力提升练 9.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　) A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,,-15 10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为(　　) A.8 B.4 C.8 D. 11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若=(2,-1,-4), =(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D. 12.已知:如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=,BC=,AA'=1,点E是C'D'的中点.求证:平面AA'E⊥平面BB'E. 13.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC= ∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD. (1)求证:CD⊥平面PAC. (2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、必备知识基础练 1.B　a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0, ∴a⊥b,∴平面α与平面β垂直. 2.C　如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz, 则P(λ,0,1),N,B(1,0,0),M,=,=, 所以=λ-=0,即λ=.故选C. 3.AC　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a, 则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a). ∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0). ∴=0,=0, ∴OM⊥AC,OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直. 4.-1　因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1. 5.(-1,0,2)　由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1), 由,得=x-1+z=0,由,得=-2x-z=0, 解得故点P的坐标为(-1,0,2). 6.证明 ∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两垂直. 如图所示, 分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系, 可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1), ∴=(0,1,1),=(-1,1,-1),=(0,2,-2). 设m=(x,y,z)是平面MND的一个法向量, 可得取y=-1,得x=-2,z=1, ∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量. ∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与