15.3 等腰三角形 课件 2023—-2024学年沪科版数学八年级上册

15.3.1 等腰三角形 (第1课时) 沪科版数学八年级上册 l学习目标 ① 探索并证明等腰三角形的两个性质. 2 能利用性质证明两个角相等或两条线段相等. 3 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几 何问题中的作用. l学习重点 探索并证明等腰三角形性质. 学习难点 等腰三角形性质的证明. 情境引入 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重 物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平 的，你知道为什么吗? 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形. 相等的两边叫腰 ； 另一边叫_底； 两腰的夹角叫顶角； 腰和底边的夹角叫 底角 我们小学学过了等腰三角形，你对它有什么认识? 等腰三角形的定义是什么? 腰 底角 底 温故知新 A <一顶角 腰 新知探究 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部 分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点? AB=AC 等腰三角形 重合的线段 重合的角 由此你能概括出等腰三角形的性质吗? AD 为顶角 ēAD 为底边 ∠BAC的平分线 BC 上的高 AD 为底边BC! 上的中线 两个底角相等 新知探究 新知探究 等腰三角形的性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合。 (等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边) 利用实验的方法我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性 质2,你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗? 等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中 ，AB=AC, 求证：∠B=∠C. 可以运用全等三 角形的性质“对应 角相等”来证 思考： 如何构造两个全等的三角形? 如何证明两个 角相等呢? 新知探究 B 新知探究 定理1: 等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”)。 求证：等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中 ，AB=AC, 求证： ∠B=∠C. 几何语言表示： 在△ABC中 ” AB=AC ∴∠B=∠C (等边对等角) 还有其他证明方法吗? 方法二：作顶角平分线 方法三：作底边上的高 已知： 如图，在△ABC中 ，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 方法一：作底边上的中线 方法二：作顶角的平分线 证明：作BC边上的中线AD, 证明： 作∠BAC 的平分线4D, 则BD=CD 在△A . 「 知一线得二线 ] △ A 在 DB 和 则∠ 定理2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合(简写成“三线合一”)(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)A B] “三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等 ∴∠B=∠C ∴BD=CD ∠BAD=∠CAD 即AD是BC边上的中线， 也是∠BAC的平分线 ∴∠B=∠C. ∴∠ADB=∠ADC BD=CD 即AD是BC边上的高， 也是BC边上的中线 ∴∠B=∠C ∴∠ADB=∠ADC ∠BAD=∠CAD 即AD是BC边上的高， 也是∠BAC的平分线 方法三：作底边上的高 证明：作BC 边上的高AD, 则∠ADB=∠ADC=90° B A 以及角的相等问题. CD 2 D N 几何语言：如图，在△ABC 中， ∵AB=AC, ∠1=∠2 (已知), ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC,BD=CD (已知), ∴∠1=∠2,AD⊥BC ∵AB=AC,AD⊥BC (已知), ∴BD=CD,∠1=∠2 定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 相互重合(三线合 一)(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边) 新知探究 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”、“辅助线”发挥 了非常重要的作用。由此你能发现等腰三角形有什么特征? 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(底边上的高，顶角平 分线)所在的直线就是它的对称轴。 ①作△ABC 底边上的中线AD 等腰三角形常见辅助线： ②作△ABC底边上的高AD ③作顶角的平分线AD 解决问题 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上， 从 顶 点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点， 就 说 房梁是水平的， 你现在知道为什么吗? 推 论： 等边三角形的三个内角相等，每个内角都 等于60° 注 意 ：等边三角形具有等腰三角形所具有的所有性质。 在△ABC中，AB=AC=BC, 它 是 等边 三角形 (1)它是等腰三角形吗? (2)∠A、∠B、 ∠C相等吗?为什么? B C 练习巩固 (1)如