专题1-6 圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-6 圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型 导语：每当谈到数学的学习，我们总是避不开这样一个话题，教材上没有、但考试要考，而且是有效的解题利器，那就是——二级结论 其实以上想依靠现推来解题的想法不过是在偷懒，很多非常实用的二级结论的推导需要极其巧妙的手法，在高度紧张的环境中，着实很难想到，不如就先记住并熟练掌握。再者，高考题越来越新、越来越活，很多题放在那里你都不一定知道该用什么结论，更何况你如果不熟练呢？不过话说回来，并不是说记忆就够了，也并不是在抹黑理解与应用，我只想说死记硬背其实是第一步，千万不要忽视. 知识点梳理 题型一 点差法与第三定义（常规篇） 题型二 点差法（提高篇） 题型三 椭圆与双曲线第三定义（提高篇） 题型四 抛物线焦半径与焦点弦结论 题型五 焦点弦被焦点分成定比 题型六 双曲线焦点三角形内切圆模型 题型七 阿基米德三角形 题型八 椭圆双曲线焦点弦与焦半径公式 题型九 椭圆双曲线大题·面积相关问题（韦达化处理与弦长公式） 题型十 平移+齐次化解决定点与斜率和积定值问题 知识点梳理 一、点差法（弦中点） 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 二、椭圆双曲线第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现. 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，， ，， ∵P，A在椭圆上，代入坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的 三、抛物线的焦点弦常见结论： 设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则    (1) (2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角) (3)弦长 (α为弦AB的倾斜角)． (4)以弦AB为直径的圆与准线相切． (5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦． (6) （定值）. (7) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 四、焦点弦被焦点分成定比 若AB是过焦点的弦，且， 则（其中θ不是倾斜角，而是AB与焦点所在轴的夹角，抛物线离心率为1） 五、阿基米德三角形 （1）阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1：MF⊥AB 性质2：MA⊥MB 性质3：MN∥x轴 性质4：S△ABM最小值为p² 对于点A，B: ①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点 对于点M ③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点 ④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点 满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形” （2）阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴． 【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线 记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点 半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略 【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点. 设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标 【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为. 【性质5】， 六、椭圆，双曲线焦半径与焦点弦夹角公式 已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦 情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α ，， 情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β ，， 题型一 点差法与第三定义（常规篇） 1． （2023上·广东佛山·高二统考期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2． 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为________ 3． 已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（