专题1-5 抛物线15类常考题型汇总-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-5 抛物线15类常考题型汇总 知识点梳理 模块一 抛物线的概念与基本性质 【题型1】抛物线的焦半径相关计算 【题型2】抛物线的焦点弦 【题型3】抛物线的轨迹问题 【题型4】抛物线的光学性质 【题型5】抛物线的实际应用问题 【题型6】利用几何性质计算求值 模块二 抛物线中最值问题 【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题 【题型8】直线到抛物线距离最小问题 【题型9】抛物线中的线段和差最值问题 【题型10】其它最值问题 模块三 抛物线与直线联立韦达化运算 【题型11】焦点弦中点相关运算与证明 【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算 【题型13】不过焦点的弦长相关计算 【题型14】垂直关系的处理 【题型15】向量数量积的处理 知识点梳理 一、抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 二、圆锥曲线第二定义 结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即＝e. (1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆； (2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线； (3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)． 三、抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 四、抛物线的焦点弦 1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)； (3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)； (4)＋＝； (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p 模块一 抛物线的概念与基本性质 【题型1】抛物线的焦半径相关计算 1． （2023·雅礼中学高二期中）抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 A． B． C． D． 2． 若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3． (多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　) A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2 【题型2】抛物线的焦点弦 4． 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________. 5． 已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________． 【题型3】抛物线的轨迹问题 6． 若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 7． 设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8． （多选）已知抛物线的焦点为F，定点和动点A，B都在抛物线C上，且（其中O为坐标原点）的面积为4，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的标准方程为 C．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为 D．若，则弦AB的中点N的横坐标的最小值为3 9． 若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 10． 若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是 ． 【题型4】抛物线的光学性质 11． 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是(