专题1-7 数列求通项13类题型汇总-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-7 数列求通项13类题型汇总 数列求通项常见题型梳理 【题型1】Sn与an 【题型2】前n项积 【题型3】因式分解型（正项数列） 【题型4】已知等差或等比求通项 【题型5】累加法（叠加法） 【题型6】累乘法（叠乘法） 【题型7】构造：等差、等比，常数列 【题型8】取倒数型 【题型9】取倒数后进行构造 【题型10】隔项等差数列求通项（和为等差） 【题型11】隔项等比数列求通项（积为等比） 【题型12】和为等比数列求通项 【题型13】奇偶数列：奇偶项递推公式不同 数列求通项常见题型梳理 1、与 与同时存在 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题中的 例：已知； 已知 角度3：等式中左侧含有： 作差法 （类似） 例子：已知求 2、前n项积 前n项积 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 3、因式分解型 如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解 例：设正项的前项和为 （1）若满足,,数列的通项公式为__________ （2）若，，的通项公式为_____________ （3）若，，的通项公式为____________　 【答案】（1）；（2）；（3） 4、累加法（叠加法） 若数列满足，求数列的通项时，利用累加法求通项公式。 具体步骤： ，将这个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：= 5、累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法 具体步骤： ， 将这个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 6、构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，从而求出数列的通项公式. 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，进而可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 7、倒数型 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如：（为常数，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，可通过换元：，化简为：（可用“待定系数法”构造等比数列） 8、隔项等差数列（和为等差） 已知数列，满足，（k≠0） 则； ；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 9、隔项等比数列（积为等比） 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 10、和为等比数列（和为等比） 已知数列，满足， 则 ，再通过累加法和错位相减求出的通项公式 【题型1】Sn与an 1． 已知数列满足：对任意，有，求数列的通项公式 2． （湖南师大学附中月考）已知数列的前项和为，若，，则有（    ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 3． 已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________ 4． （重庆实验外国语学校月考）（多选）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（    ） A． B． C． D． 5． 设为数列的前项和，已知，求 【题型2】前n项积 对于数列，前项积记为； ①；② 则①②： 6． 已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式 7． （江苏连云港，南通调研）已知数列的前项积为，且，求的通项公式 2021·全国高考乙卷（理）——前n项积，消求 8． 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式． 【题型3】因式分解型（正项数列） 9． 正项递增数列的前项和为，，求的通项公式； 10． 已知各项都是正数的数列，前项和满足，求数列的通项公式. 11． 已知为数列的前n项和，，,求数列的通项公式. 【题型4】已知等差或等比求通项 注意与消Sn的方法进行区分 12． （湖北省黄冈市9月调研）设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 13． （苏州市高三调研）已知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和. 14．