第一部分 第二章 特殊三角形-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（浙教版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第二章 特殊三角形 1. 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角 ,两腰 ; (2)等腰三角形三线合一:等腰三角形的 、 、 互相重合; (3)等腰三角形是 图形,对称轴是 . 2. 等腰三角形的判定 (1)有两边 的三角形叫做等腰三角形; (2)如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是 . 3. 等边三角形的性质 (1)等边三角形的三边都 ,三个内角都等于 ; (2)等边三角形每条边上的 、 和所对角的角平分线都 ; (3)等边三角形也是轴对称图形,共有 条对称轴,对称轴可以是 . 4. 等边三角形的判定 (1)三边都相等的三角形叫做 ; (2)三个内角都等于 的三角形一定是 ;有一个角是60°的 是等边三角形,所 以等边三角形是特殊的等腰三角形. 9 第 一 部 分 温 故 知 新 5. 直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角 ; (2)直角三角形斜边上的 等于斜边的一半; (3)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 ; (4)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 .如果用字母a,b,c分别表示两条直 角边和斜边,那么有关系式 . 6. 直角三角形的判定 (1)有两个角 的三角形是直角三角形; (2)直角三角形“勾股定理”的逆定理:一般地,如果三角形中较小两边的 等于最大边的 ,那么这个三角形是 ,最大边所对的角是 . 考点一 等腰三角形的性质与判定 例1 如图,∠1=∠2,BO=CO,试说明△ABC 是等腰三角形. 分析:要说明△ABC 是等腰三角形,需知道AB=AC 或∠ABC=∠ACB,而说明 AB=AC 有困难,所以考虑说明∠ABC=∠ACB.又已知∠1=∠2,所以只要说明 ∠OBC=∠OCB 即可. 解:∵OB=OC, ∴△OBC 是等腰三角形. ∴∠OBC=∠OCB. ∴∠1+∠OBC=∠2+∠OCB,即∠ABC=∠ACB. ∴△ABC 是等腰三角形. 点评:本题综合考查了等腰三角形的性质与判定,在说明一个三角形是等腰三角形时,若直接说明两边 相等有困难时,则要转换思路,即通过说明有两个角相等来得出该三角形是等腰三角形. 考点二 等边三角形的性质与判定 例2 如图,在等边三角形ABC 中,∠1=∠2=∠3,请说明△DEF 也是等边 三角形. 分析:要说明△DEF 是等边三角形,则需说明 DF=EF=ED 或∠DFE= ∠FED=∠EDF,由△ABC 是等边三角形可得∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°, 又∠1=∠2=∠3,作差可得∠DBC=∠ECA=∠FAB,即可说明△DEF 的3个 角都等于60°,至此得出结论. 解:∵△ABC 是等边三角形, ∴ ∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 又∵∠1=∠2=∠3, ∴∠ABC-∠1=∠BCA-∠2=∠CAB-∠3,即∠DBC=∠ECA=∠FAB. 而∠FDE=∠DBC+∠2=∠DBC+∠1=60°, 同理可得∠DEF=∠EFD=60°, ∴△DEF 是等边三角形. 点评:本题综合考查等边三角形的性质与判定,另一种思路是通过全等三角形说明有关线段相等也能 得出结论,请同学们自己完成,并比较两种方法的优劣. 考点三 勾股定理 例3 如图,△ABC 中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC 边上的高AD. 分析:BC 边上的高AD 把△ABC 分割成两个直角三角形,在两个三角形中分别运用勾股定理,通过高 AD 建立等式,即可求出BC 边上的高AD. 01 第 一 部 分 温 故 知 新 解:设BD=x,则CD=14-x. 在Rt△ABD 中,由勾股定理得AD2+x2=132, ∴AD2=132-x2. 同理,在Rt△ACD 中,由勾股定理得AD2=152-(14-x)2, ∴132-x2=152-(14-x)2,解得x=5. ∴AD2=132-52=144.即AD=12. 点评:通过本题可以看出运用勾股定理建立方程,是解几何计算题的常用方法. 典例一 虚加“直角”前提 例1 已知△ABC 各边均为整数,且AC=4,BC=3,AB 是最长边,则AB 的长为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 5或6 错解:A. 分析:由于刚学过勾股定理,误将△ABC 当成了直角三角形而用了勾股定理,实际上,题中并没有给出 直角三角形这个前提条件. 正解:由于AB 是最长边,根据三角形三边