第二部分 巧用全等解题&关注三角形的外角-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（浙教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 巧用全等解题 三角形全等的用处很多,如何应用全等解决问题呢? 下面就一起看看吧. 一、 找线段的关系 例1 如图所示,△ABC 与△BDE 都是等边三角形,连接AE,CD,AE 与CD 的大小关系为 ( ) A. AE=CD B. AE>CD C. AE<CD D. 无法确定 分析:比较线段的大小可以根据长度去比较,但很显然不能求出AE 与CD 的长 度;而且还知道“等角对等边”,很明显AE 与CD 不在同一个三角形中. 从图中可以看出AE 是△ABE 和△ADE 的边,CD 是△CBD 和△ACD 的边,可以从全等去考虑“全 等三角形的对应边相等”.显然,△ABE 和△ACD 不全等,故考虑△ABE 和△CBD 全等. △ABC 与△BDE 都是等边三角形,AB=BC,BE=BD,欲说明它们全等还缺一个条件,可考虑它们的 夹角∠ABE 和∠CBD 是否相等,而∠ABC 和∠DBE=60°,所以∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠DBE+ ∠CBE=∠CBD,从而可得△ABE≌△CBD,故AE=CD. 解:选A. 点评:全等三角形的对应边相等、对应角相等,这些性质是说明线段相等或角相等的依据. 二、 分割三角形 例2 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 平分∠BAC,试把 △ABD 分割成两个和△ACD 全等的三角形. 分析:由 已 知 条 件 可 以 求 出∠CAB=60°,又 因 为 AD 平 分∠BAC,所 以 ∠CAD=∠DAB=30°.根据等腰三角形的判定方法“等角对等边”可知,△ABD 是等腰三角形.作等腰三角形底边上的高线(或是顶角平分线或是底边中线),可以 把等腰三角形分割成两个全等的三角形.再进一步利用全等可以很容易得出这两个三角形和△ACD 都是 全等的. 解:过点D 作DE⊥AB,垂足为点E,如图. 则DE 即为满足条件的分割线,△ADC 和△ADE 和△BDE 全等. 点评:本题是全等三角形、等腰三角形及角平分线等知识的综合运用.除了上 面的方法,还可以从轴对称的角度考虑,试一试,你一定能行. 24 第 二 部 分 专 题 选 讲 关注三角形的外角 三角形的角有内外之分,我们知道三角形的内角和等于180°,而三角形的外角具有什么样的性质呢? 下面就和同学们一起学习它吧. 一、 性质解读 1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 温馨提示:(1)这是三角形内角和定理的推论,推论可以当做定理使用; (2)两个推论中的关键字是“不相邻”,推论中指的是外角与不相邻的内角的关系,对于和外角相邻的内 角则是外角的补角. 二、 性质证明 已知:如图,在△ABC 中,∠ABD 是△ABC 的一个外角. 求证:(1)∠ABD=∠A+∠C;(2)∠ABD>∠A,∠ABD>∠C. 证明:(1)∵∠A+∠C+∠ABC=180°(三角形三个内角的和等于180°), ∴∠A+∠C=180°-∠ABC(等式的性质). ∵∠ABD+∠ABC=180°(1平角等于180°), ∴∠ABD=180°-∠ABC(等式的性质). ∴∠ABD=∠A+∠C(等量代换). (2)∵∠ABD=∠A+∠C(已证), ∴∠ABD>∠A,∠ABD>∠C(不等式的性质). 三、 性质应用 例 已知:如图,在△ABC 中,∠B=40°,∠BAC=32°,BC 边上的高为AD.求 ∠CAD 的度数. 解:∵∠ACD 是△ABC 的一个外角(外角的定义), ∴∠ACD=∠B+∠BAC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和). ∵∠B=40°,∠BAC=32°(已知), ∴∠ACD=40°+32°=72°(等量代换). ∵BC⊥AD(已知), ∴∠ADC=90°(垂直的定义), ∵∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°(三角形三个内角的和等于180°), ∴∠ACD+∠CAD=90°(等量代换), ∴∠CAD=90°-∠ACD=18°. 点评:本题应用了“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”证明角的相等关系,还可以应 用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”证明角的不等关系. 34