第二部分 结合三角形解实际问题&“勾股定理”再探究-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（浙教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 结合三角形 解实际问题 解决与三角形有关的实际问题,经常用到三角形的内角和是180°,以及三角形的三边关系.下面举两例 和同学们共赏. 一、 三角形内角和 例1 如图,一块模板按规定AF,DE 的延长线相交成85°的角,因交点不在模 板上,不便测量.工人师傅连接AD,测得∠FAD=32°,∠ADE=65°,即可知道AF, DE 的延长线相交所成的角符不符合规定,为什么? 解:延长AF,DE 交于点M,则∠M+∠FAD+∠ADE=180°, . 因为180°-∠FAD-∠ADE=180°-32°-65°=83°, 83°≠85°, 所以此模板不符合规定. 点评:三角形的内角和定理应用非常广泛,本题就是利用三角形的内角和是180°来检验工件是否合格. 二、 三边关系 例2 如图,某市新建了四个社区,为方便社区的居民购物,决定在四个社区之间建一个大型超市M,使 它到四个社区的距离之和MA+MB+MC+MD 最小.请你帮忙规划一下,超市应建在什么地方? 解:如图,连接AC,BD,设AC 和BD 相交于点M,再任取不同于点 M 的任意一点N,连接AN,BN, CN,DN. 由三角形的三边关系,得AN+CN>AC,BN+DN>BD, 即AN+CN>AM+CM,BN+DN>BM+DM. 由此可知,从点 M 到A,B,C,D 四点的距离之和小于从点N 到这四点的距离之和,而点 N 是不同于 点M 的任意一点,也就是说,从点 M 到这四点的距离之和比其他任意一点到这四点的距离之和都小,是最 短距离.所以把超市 M 建在AC 和BD 的交点处,能使它到四个社区的距离之和最小. 点评:在求距离或线段最短时,往往要用到三角形的高(垂线段最短)或三边关系,同学们在解决相关的 实际问题时,要注意体会其中蕴含的数学知识. 44 第 二 部 分 专 题 选 讲 “勾股定理”再探究 三角形按角分类,可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.勾股定理是在直角三角形的前提下存 在的,它反映的是直角三角形的三边之间的数量关系.对于一个直角三角形,它们三边具有“两直角边的平 方和等于斜边的平方”,那么在非直角三角形的情况下,它们的三边又存在着怎样的关系呢? 下面我们对锐 角三角形和钝角三角形两种情况进行探究,看看它们三边之间有怎样的数量关系. 探究一 如图,在锐角三角形ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c.试探究a2,b2,c2 之间的关系. 我们可以过点A 作AD⊥BC 于点D,构造Rt△ABD 和Rt△ACD.为了计算方便起见,不妨设CD= x,则有BD=a-x. 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得AD2=AB2-BD2. 在Rt△ACD 中,由勾股定理,得AD2=AC2-CD2. 所以有AB2-BD2=AC2-CD2,即c2-(a-x)2=b2-x2. 所以a2+b2=c2+2ax. 因为a>0,x>0,所以2ax>0,所以有a2+b2>c2. 同理可推出b2+c2>a2 和a2+c2>b2. 因此有结论:锐角三角形任两边的平方和大于第三边的平方. 探究二 如图,在钝角三角形ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c.试探究 a2,b2,c2 之间的关系(不妨设∠C 是钝角). 我们可以过点B 作BD⊥AC,且交AC 的延长线于点D,构造Rt△BCD 和 Rt△ABD.为了计算方便起见,不妨设CD=x,则有AD=b+x. 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2. 在Rt△BCD 中,由勾股定理,得BD2=BC2-CD2. 所以有AB2-AD2=BC2-CD2,即c2-(b+x)2=a2-x2. 所以a2+b2+2bx=c2. 因为b>0,x>0,所以2bx>0,所以有a2+b2<c2. 因此有结论:钝角三角形两条较短边的平方和小于最长边的平方. 由此可见,无论什么样的三角形,它们三边的平方之间都存在着一种数量关系.这种数量关系也体现了 从不等到相等的过渡过程,相等只是不等在特殊情况下的一种情形. 54