27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（教学课件）数学沪教版五四制九年级下册

27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 第27章 圆与正多边形 教师 xxx 沪教版 九年级第二学期 圆的心角 圆的旋转对称性 弦心距 圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理及推论 01 03 02 04 CONTANTS 目 录 圆心角 01 · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB. ⌒ 4 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 5 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 · O B A 疑问：这三个量之间会有什么关系呢？ 6 归 纳 (1)1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧． (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致(或相等)的，即圆心角的度数等于它所对弧的度数．注意这里仅指度数相等． 7 例1 下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　) D 8 弦心距 02 如图，∠AOB是圆心角，弦AB叫做圆心角∠AOB所对的弦， 弧AB叫做圆心角∠AOB所对的弧。反之，∠AOB是弧AB（或弦AB） 所对的圆心角。 如图，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C，则垂线段OC的长是弦AB的弦心距。 弦心距： 圆心到弦的距离叫做弦心距。 圆的旋转对称性 03 圆的对称性 用准备好的两个透明等圆探究实验： 问题1 在同一个圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转 到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 问题2 在等圆中，能否也能得出类似的结论呢？ 12 把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心. · 圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理及推论 04 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD， 弦AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ · O A B C D 由圆的旋转对称性，我们发现： 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， ，AB=CD，OE=OF. E F 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理 E F ④OE=OF 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 在同圆或等圆中 圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 ． 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上. 求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°. A B C O 证明：连接OA，OB，OC，如图. ∵ AB=BC=CA， ∴∠AOB =∠BOC =∠COA 例1 例题解析 ∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. A B C O 方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 例2 已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？ 解：连结OM、ON， ∵M、N分别为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM 例3.已知：如图，AD、BC是⊙O的弦，AD=BC，OM，ON分别表示弦AB和CD的弦心距. 求证：OM=ON. 证明：∵AD=BC, ∴ ∴ ∴ ∵OM，ON分别表示弦AB和CD的弦心距， ∴OM=ON. · C A B D E F O 1． AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，