2024年四川省成都市中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 手拉手模型解决全等、相似问题 课件

手拉手模型解决全等、相似问题 微专题 一阶 认识模型 模型分析 1. 全等手拉手模型图形特点：双等腰：AB＝AC，AD＝AE，共顶点：线段AB，AC，AD，AE交于点A，顶角相等：∠BAC＝∠DAE，旋转得全等：△ADE绕点A旋转，连接CE，BD，则△ABD≌△ACE. 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 2. 相似手拉手模型图形特点：非等腰：AB≠AC，AD≠AE，共顶点：线段AB，AC，AD，AE交于点A，顶角相等：∠BAC＝∠DAE，旋转得相似：△ADE绕点A旋转，连接BD，CE，则△ABD∽△ACE. 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 例1　如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AB，AC为边，分别向外作等边△ABD，△ACE，连接BE，DC.(1)求证：△ABE≌△ADC； 例1题图 (1)证明：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC， ∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE.在△ABE和△ADC中， 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 ∴△ABE≌△ADC(SAS) 例1题图 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 (2)若AB＝4，BC＝6，求BE的长． 例1题图 (2)解：∵△ABD为等边三角形，∴∠DBA＝60°，BD＝AB＝4.又∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝90°.在Rt△BDC中，CD＝ ，由(1)得△ABE≌△ADC，∴BE＝CD＝2 . 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 例2 如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，连接BD并延长，分别交AO于点E，交AC于点M.(1)求 的值； 例2题图 (1)解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD，∴∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.∵∠OAB＝∠OCD＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，∴tan ∠OCD＝tan ∠OAB＝ ， 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 ∴ ，∴△AOC∽△BOD，∴ . 例2题图 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 (2)求证：AM⊥BM. 例2题图 (2)证明：∵△AOC∽△BOD，∴∠CAO＝∠DBO.∵∠MEA＝∠OEB，∴∠AMB＝∠AOB＝90°，∴AM⊥BM. 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 二阶 应用模型 1. 如图，将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，旋转角为α(0＜α＜180°)，连接BB′，过点D作DE垂直直线BB′，垂足为E，连接DB′，CE.求 的值． 第1题图 解：如图，连接BD. ∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，∴∠AB′B＝90°－ .∵∠B′AD＝α－90°，AD＝AB′，∴∠AB′D＝135°－ ， 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 第1题图 ∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝135°－ －(90°－ )＝45°.∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴ .∵四边形ABCD是正方形，∴ ，∠BDC＝45°，∴ .∵∠EDB′＝∠BDC， ∴∠EDB′＋∠EDB＝∠BDC＋∠EDB，即∠B′DB＝∠EDC，∴△B′DB∽△EDC，∴ . 解题关键点 连接BD，构造手拉手相似模型求解． 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 2. 【问题情境】数学探究课上，老师出示了这样一个几何问题背景：在四边形ABCD中，已知E是四边形ABCD内部一点，BE⊥DE，连接BD，AE，CE，∠CBD＝∠ABE，∠ADB＝∠BCE＝60°.(1)【探究发现】如图①，小敏添加了两个条件：“AB＝AD，∠AEB＝150°”，请你证明：CE＝ AE； 第2题图① (1)证明：∵AB＝AD，∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，AB＝BD.∵∠CBD＝∠ABE，∴∠CBE＝∠CBD＋∠EBD＝∠ABE＋∠EBD＝∠ABD＝60°. 微专题　 手拉手模型解决全等、相似问题 第2题图① 又∵∠BCE＝60°， ∴△BEC是等边三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，BE＝BC＝C