5.5.2 简单的三角恒等变换（5大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

5.5.2 简单的三角恒等变换 重点：能用两角和与差公式、二倍角公式、积化和差、和差化积、半角公式进行简单的恒等变换，提升逻辑推理的核心素养； 难点：能利用三角恒等变换对三角函数化简、求值，并能进行一些简单的应用。 一、升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 二、半角公式（只要求推导，不要求记忆） ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 三、积化和差与和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 四、辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 五、万能公式 ； ； 六、三角函数化简“三看”原则 七、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 题型一 半角公式与万能公式的应用 【例1】（2023下·高一课时练习）若，且为第一象限角，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·江苏南京·高一宁海中学校联考期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则 ． 题型二 积化和差与和差化积的应用 【例2】（2023·全国·高一课时练习）的值是（ ） A． B． C． D．1 【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）（ ） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【变式2-2】（2023·全国·高一课时练习）若，，则的值为（ ） A．2 B． C．－2 D． 【变式2-3】（2023·全国·高一课时练习）把下列各式化成积的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三 辅助角公式及其应用 【例3】（2023·甘肃酒泉·高一统考期末）求值：（ ） A．0 B． C．2 D． 【变式3-1】（2023·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（ ） A．π B． C．2π D． 【变式3-2】（2023·高一课时练习）函数，的最小值为 ． 【变式3-3】（2023·全国·高一课时练习）求函数的单调递增区间． 题型四 三角恒等变换的化简问题 【例4】（2023·河北石家庄·高一石家庄市第二十一中学校考期中）等于（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-1】（2023·陕西商洛·高一镇安中学校考期中）化简： ． 【变式4-2】（2023·江苏徐州·高一统考阶段练习）（1）化简： （2）化简：． 【变式4-3】（2023·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）计算. （1）求的值； （2）化简. 题型五 三角形中的三角恒等变换 【例5】（2023·江西吉安·高一峡江中学校考期末）在△ABC中，若，则△ABC是（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则此三角形为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】（2023·重庆·高一重庆南开中学校考期中）在中，，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式5-3】（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5.2 简单的三角恒