第一部分 第3章 勾股定理-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（苏科版）

第 一 部 分 温 故 知 新 同,得到∠B 的度数的个数也可能不同.如 果在等腰三角形 ABC 中,设∠A=x°,当 ∠B 有三个不同的度数时,请你探索x 的取 值范围. 第3章 勾股定理 一、 对比两定理 定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 内容 如果直角三角形的两 直角边长分别为a, b,斜 边 为 c,那 么 a2+b2=c2 如果 三 角 形 的 三 边长分别为a,b, c,满足a2+b2= c2,那么这个三角 形是直角三角形 题设 直角三角形的两直角 边长分别为a,b,斜 边为c 三角 形 的 三 边 长 分别为a,b,c,满 足a2+b2=c2 结论 a2+b2=c2 这个 三 角 形 是 直 角三角形 作用 已知直角三角形任意 两边的长度,能求出 第三边的长度 已知 三 角 形 三 边 之间的特殊关系, 得该 三 角 形 是 直 角三角形, 是判定 直角 三 角 形 的 一 种方法 二、 注意事项 1. 在运用勾股定理时,要注意以下几点 (1)注意勾股定理的使用条件:只对直角 三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角 三角形. (2)要找准直角边、斜边,有时要进行分 类讨论. (3)熟悉公式的变形:a2=c2-b2,c= a2+b2,b2=c2-a2(若a,b为直角边,c为 斜边). (4)随着直角的变化,公式也有所变化: 若∠A=90°,则有a2=b2+c2;若∠B=90°, 则有b2=a2+c2. (5)求直角三角形斜边上的高时,常用勾 股定理和面积公式联合求解. (6)遇到求最短距离问题时,往往要想到 “两点之间,线段最短”,常将空间图形侧面展 开成平面图形,然后利用勾股定理求解. 2. 运用勾股定理的逆定理时,应注意以 下几点 (1)由于逆定理的条件和结论与勾股定 理的正好相反,所以值得注意的是,在定理中 不能出现“斜边”“直角边”这样的字样. (2)运用逆定理判断一个三角形是否是 直角三角形,先确定最大边,即斜边c,再验 证c2 与a2+b2 是否相等. (3)学会识别勾股数:能够构成直角三角 形三边长的三个正整数,称为勾股数.也就是 说,在给定的三个正整数中,其中最大的数的 平方等于其他两数的平方和,这组数就是勾 61 第 一 部 分 温 故 知 新 股数.如,3,4,5;6,8,10等都是勾股数. 考点一 勾股定理 例1 (白银中考题)已知等腰三角形的 一条腰长是5,底边长是6,则它底边上的 高为 . 解析 如 图,过 点 A 作 AD⊥BC,则 BD= 1 2BC=3. 在 Rt△ABD 中,AD = AB2-BD2= 52-32=4,所以该等腰三 角形底边上的高为4. 答案 4 评注 等腰三角形“三线合一”是一条极 其重要的性质,它是构造直角三角形运用勾 股定理进行计算的关键,一定要掌握;一般非 直角三角形(包含不规则图形)的计算都需要 添加辅助线,构造直角三角形解决. 考点二 勾股定理的逆定理 例2 (宁夏中考题)已知a,b,c为三个 正整数,如果a+b+c=12,那么以a,b,c为 边能组成的三角形是:①等腰三角形;②等边 三角形;③直角三角形;④钝角三角形.以上 符合 条 件 的 正 确 结 论 是 (只填 序 号). 解析 依题意,当a=b=c=4时,能构 成等边三角形;当a=b=5,c=2时,能构造 等腰三角形;当a=3,b=4,c=5时,由a2+ b2=c2 可知此时三角形是直角三角形.故正 确的结论是①②③. 答案 ①②③ 评注 判定一个三角形是否是直角三角 形,要用较小的两边的平方和是否等于最大 边的平方的方法去判定,但要注意谁是直角; 另外,要提高解题速度,增强判断能力,必须 牢记一些常见的勾股数,如:3,4,5;6,8,10; 5,12,13等. 考点三 解决实际问题 例3 (永州中考题)如图,一棵树因雪 灾于A 处折断,测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4米,∠ABC 约45°,树干AC 垂 直于地面,那么此树在未折断之前的高度约 为 米(答案可保留根号). 解析 依题意,树与地面垂直,∠ACB =90°,又∠ABC≈45°,则∠BAC≈45°,所以 AC=BC=4,所 以 AB= AC2+BC2 = 42,故此树在未折断之前的高度约为(4+ 42)米. 答案 (4+42) 评注 解决本题的关键是抓住隐含的垂 直关系,将实际问题转化为直角三角形问题 求解. 易错题剖析 思维定势,忽视讨论 例 已知直角三角形的两边长分别为 3和4,则第三边长为 . 错解 5 剖析 漏解.已知两边长并没有指明4 是直角边还是斜边,因此需分类讨论. 71 第 一 部 分 温 故 知 新 正解 当4为直角边时,由勾股定理可 知