第二章 一元二次函数、方程和不等式 知识点-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章 一元二函数、方程和不等式 1． 等式性质与不等式性质 1. 等式的性质 性质1 如果a＝b，那么b＝a； 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝ 2. 不等式的性质 性质1 对称性 a＞b⇔b＜a. 性质2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c. 性质3 可加性 移项法则 a＞b⇔a＋c＞b＋c. a+b＞c ⇔a＞c-b. 性质4 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc 性质5 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. 性质6 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. 性质7 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2) 3. 常用性质 （1）倒数性质 ① ； ② ； ③ （2）有关分数的性质 ① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若，则 ⑤ 若，则 4. 比较大小基本方法 关系 方法 做差法（与0比较） 做商法（与1比较） 或 或 2． 基本不等式 1. 基本不等式（或均值不等式） 如果，则（当且仅当时取“=”）． 2. 基本不等式的变形与拓展 (1) 若，则，（当且仅当时取“=”）． (2) 若，则，（当且仅当时取“=”） (3) 若，则，（当且仅当时取“=”） (4) 若，则（当且仅当时取“=”）；若，则（当且仅当时取“=”）； (5) 若，则（当且仅当时取“=”）； 若，则（当且仅当时取“=”） (6) 基本不等式链：若，则．（当且仅当时取“=） 也可变形为：（当且仅当时取“=） 3. 用基本不等式求最值 已知都是正数，则有 (1) 如果积xy 等于定值p ，那么当x = y时，和x + y有最小值(简记： 积定和最小)； (2) 如果和x + y 等于定值s ，那么当x = y时，积xy有最大值(简记： 和定积最大)． 注：“一正，二定，三相等”：各项必须为正数，各项之和或各项之积为定值，验证取等号时条件是否具备。 4. 柯西不等式： 若 a，b，c，d 都是实数， 则(a2 + b2 )(c2 + d2 )(ac + bd )2 ，当且仅当ad = bc 时， 等号成立 3． 二次函数与一元二次方程、不等式 1. 二次方程及不等式解 的解集 或 的解集 或 的解集 根的判别式 ， 的解集 或 的解集 的解集 或 2. 二次函数 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 ， 顶 点 坐 标 3. 韦达定理： 若x1 , x2是一元二次方程ax2 +bx + c = 0(a 丰 0) 的两个根，则x1 + x2 =，x1x2 =， 4. 二次函数，不等式恒成立 对任意实数x恒成立条件 对任意实数x恒成立条件 对任意实数x恒成立条件 对任意实数x恒成立条件 5. 含参不等式恒成立（任意） 恒成立； 恒成立； 恒成立； 恒成立； 6. 含参不等式能成立（有解、存在） 能成立； 能成立 7. 分式不等式的解法 （1） > 0⇔f(x)g(x)> 0； < 0⇔f(x)·g(x)< 0. （2）≥ 0⇔⇔f(x)·g(x)> 0或 ≤ 0⇔⇔f(x)·g(x)< 0或 注：形如的分式不等式，可变形为，故可转化为 8. 绝对值不等式的解法: 不等式 a > 0 a = 0 a < 0 | x |< a {x∣- a < x < a} | x |> a {x∣x > a或x <-a} {x = R∣x 0} R 学科网（北京）股份有限公司 $$