专题六 构造全等三角形的常见辅助线（一） 2023—2024学年人教版数学八年级上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题六 构造全等三角形的常见辅助线（一） 类型一 倍长中线法构造全等三角形 方法点拨：已知线段中点或三角形的中线，将中线延长，使所得线段长度为原来的2倍。构造8字型全等三角形解决问题。 1.倍长中线模型 延长AD到点E， 使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD 结论： △ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题 2 .倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型： 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD 结论： △ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定 典例剖析1 【例1-1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　 A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE． 【例1-2】（1）阅读理解：    如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系 针对练习1 1 .【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 2 .阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：”    张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明. 3 .（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长AD到M，使得DM＝AD； ②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中； ③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明． 类型二 截长补短证全等 截长补短模型 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 在AC上截取AE=AD，连接PE 条件： AP平分∠BAC， 结论： △APD≌△APE(SAS) ①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察 ②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段 因为截