数列通项公式的常用求法 专题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列通项公式的常用求法 求数列的通项公式是考试的热点问题，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解 例1.分别写出下列数列的一个通项公式． 一、观察法 例2.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（    ）个球．    A．12 B．20 C．55 D．110 解析 由题意知： 故选：C. 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： ①观察数列各项符号的变化，如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节． ②分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． ③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决． 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察 (观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决． 方法总结 练习.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（    ） A．22 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【提示】分奇偶项考虑. 对点练习 二、利用an与Sn的关系 解析　∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n， ∴a1＝S1＝－1， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－2(n－1)＝n2－4n＋3， 故an＝Sn－Sn－1＝2n－3，当n＝1时，an＝2n－3也成立， 故∀n∈N*，an＝2n－3. 例3.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，那么它的通项公式为an＝________. 已知Sn求an 已知an与Sn的关系求an (2)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，则a100＝(　　) A．297 B．298 C．299 D．2100 解析：当n≥2时，由an＋1＝Sn　①， 可得an＝Sn－1　②， 两式相减得，an＋1－an＝an，所以an＋1＝2an，n≥2， 当n＝1时，a2＝S1＝a1＝2，故数列{an}是从第2项开始的，公比是2的等比数列，所以 ，所以a100＝299. 故选C. (3)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　 ) BCD 又a1＝－1不符合上式， 方法总结 拓展：设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 则an＝__________. 解析　因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 两式相减得(2n－1)an＝2， 又由题设可得a1＝2，满足上式， 类似已知Sn求an，作差法求通项. 12 解析：当n＝1时，a1＝14， 对点练习 三、公式法 例4.(1)已知数列{an}满足an+1= an﹣2 ，且a1=1，求an。 (2)已知数列{an}满足an+1=2an，且a1=2，求an。 由递推式an+1=an+d (d为常数)或an+1=qan(q为常数)知相应数列为等差或等比数列，可直接利用其通项公式求解. an=﹣2n+3 an=2n ﹣2变为n，该如何求？ ﹣2变为 ，该如何求？ 方法总结 ∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n 1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,m∈N*), 则an=_______. 解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2 m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=1 n 2. 若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_______. 解：n=m=1时，b2=b1·b1=4 , 即b1=2，b2=4， m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn· b1=2bn， 故{bn}是首项为b1=2 ，公比为q=2的等比数列，