第一部分 第十四章 整式的乘法与因式分解-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（人教版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第十四章 整式的乘法与因式分解 1. 幂的运算法则:①am ·an=am+n; ②(am)n=amn;③(ab)n=anbn;④am÷an =am -n. 2. 单项式与单项式相乘,把系数、同底 数幂分别相乘,作为积的因式,只在一个单项 式里含有的字母,则连同它的指数作为积的 一个因式. 3. 单项式与多项式的乘法:m(a+b+ c)=am+bm+cm. 4. 多项式与多项式的乘法:(m+n)(a +b)=ma+mb+na+nb. 5. 乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2, (a±b)2=a2±2ab+b2. 6. 单项式除以单项式:单项式相除,把 系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式; 对于只在被除式中含有的字母,则连同它的 指数一起作为商的一个因式. 7. 多项式除以单项式:多项式除以单项 式,先把这个多项式的每一项分别除以单项 式,再把所得的商相加. 8. 因式分解:把一个多项式化为几个整 式 的形式叫因式分解,因式分 解与整式的乘法是一个互逆过程,即 整式乘法 乘 因式􀜩􀜨􀜑 多项式. 9. 因式分解的方法有:① ; ② . 考点1 幂的运算 例1 (1)下列运算正确∙∙ 的是 ( ) A. x2·x2=2x4 B. (x2)3=x8 C. x4÷x2=x2 D. x4·x2=x8 (2)若2x=3,4y=5,则2x-2y 的值为 ( ) A. 3 5 B. -2 C. 35 5 D. 6 5 解析 (1)由幂的运算性质依次分析四 个选项即可鉴别.选项A多出了系数2,选项 B应该为(x2)3=x6,选项D应该为x4·x2 =x6.故选C; (2)由幂的运算性质可变形2x-2y=2x÷ 22y=2x÷4y,故选A. 点评 对幂的运算法则要熟练地加以运 用,有时需要正向、逆向地灵活使用.多以选 择题的形式进行考查. 例2 根据已知求值: (1)已知am=2,an=5,求am+n 的值; (2)已知32×9m×27=321,求m 的值. 52 第 一 部 分 温 故 知 新 解析 (1)∵am=2,an=5, ∴am+n=am·an=2×5=10; (2)∵32×9m×27=321, 即32×32m×33=321, ∴2+2m+3=21, 解得m=8. 点评 本题主要考查了幂的乘方与积的 乘方以及同底数幂的乘法,熟练掌握幂的运 算法则是解答本题的关键. 考点2 整式的乘除运算 例3 (1)计 算:3x3 · - 1 9x 2 = ; (2)计算:(y3)2÷y5= . 解析 (1)根据单项式与单项式相乘的 法则,可得原式=- x5 3 ; (2)根据单项式除以单项式的法则,可得 原式=y. 点评 这两个小题都是简单地考查了单 项式相乘、相除,它们是整式的乘除的基础, 同学们要掌握好. 考点3 整式的化简求值 例4 (1)已知:a+b= 3 2 ,ab=1,化简 (a-2)(b-2)的结果是 ; (2)已知x2-5x=14,求(x-1)(2x- 1)-(x+1)2+1的值. 解析 这种问题先将原式进行整式的运 算,简化后,再代入数值计算是一般方法. (1)展开(a-2)(b-2)得ab-2(a+b) +4,代入已知条件得2; (2)原式=2x2-x-2x+1-(x2+2x +1)+1=x2-5x+1,当x2-5x=14时,原 式=(x2-5x)+1=14+1=15. 点评 本题所给的代数式的求解,均需 要先对所给的式子进行整式的乘法以化简, 同时善于将化简结果贴近所给的已知条件, 这样才可有效地整体求解. 例5 材料阅读: 类比是数学中常用的数学思想.比如,我 们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运 算方法,得到多项式与多项式的加、减、乘、除 的运算方法. ① 2x+3 +)3x-5 5x-2 ∴(2x+3)+(3x-5)=5x-2 ② 3x2-4x+1 -)x2+0-5 2x2-4x+6 ∴(3x2-4x+1)-(x2-5)=2x2-4x +6 ③ x+3 ×)2x+5 5x+15 2x2+6x 2x2+11x+15 ∴(x+3)×(2x+5)=2x2+11x+15 ④ 2x+3 x-32x2-3x-9⎠ 2x2-6x 3x-9 3x-9 0 ∴(2x2-3x-9)÷(x-3)=2x+3 理解应用: (1)请仿照上面的竖式方法计算:(2x+ 3)(x-5); (2)已知两个多项式的和为3x2- 7 2x+ 5,其中一个多项式为x2-2.请用竖式的方 62 第 一 部 分 温 故 知 新 法求出另一个多项式; (