第一部分 第十二章 全等三角形-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（人教版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第十二章 全等三角形 全等形 全等三角形→ 性质 对应边相等,对应角相等 ↑ 解决问题→ 边边边,边角边,角边角, 角角边,斜边、直角边 判定 ↑ 1. 判定两个三角形全等的方法一般有 以下4种: (1) 的两个三角形全等(简写成 “SSS”); (2)两边和它们的 对应相等的 两个三角形全等(简写成“SAS”); (3)两角和它们的 对应相等的 两个三角形全等(简写成“ASA”); (4)两个角和其中一个角的 对 应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”). 而在判别两个直角三角形全等时,除了 可以应用以上4种判别方法外,还可以应用 “斜边、直角边”,即斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等(简写成“HL”).也 就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角 形全等的特有的方法,它仅适用于判别两个 直角三角形全等. 2. 在判定三角形全等时,应做到以下 几点: (1)根据已知条件与结论认真分析图形; (2)准确无误地确定每个三角形的六个 元素; (3)根据已知条件,确定对应元素,即找 出相等的角或边; (4)对照判定方法,看看还需什么条件两 个三角形就全等; (5)想办法找出所需的条件来. 3. 线段的垂直平分线: 并且 一条线段的直线 叫这条直线的垂直平分线.线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离 . 点评 线段是最简单的轴对称图形,通 过这种图形,可以比较容易地研究轴对称的 性质;另外,线段的垂直平分线性质定理是证 明线段相等的有力工具,它们本身也有很多 直接应用. 考点1 考查全等三角形的性质 例1 (福 建 厦 门 中 考 题) 如 图,在 △ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边 AC 交边BE 于点F,若 AC=BD, AB= ED,BC=BE,则∠ACB 等于 ( ) A. ∠EDB B. ∠BED C. 1 2∠AFB D. 2∠ABF 8 第 一 部 分 温 故 知 新 解析 ∵AC=BD, AB=ED,BC=BE, ∴△ABC≌△DEB, ∴∠ACB=∠EBD. ∵∠AFB 是△BFC 的外角, ∴∠AFB=∠ACB+∠EBD,∴∠AFB =2∠ACB,即∠ACB= 1 2∠AFB ,故选择C. 点评 解答的关键是理解全等三角形对 应角相等以及外角的性质. 例2 图中的小正方形边长都相等,若 △MNP≌△MEQ,则点Q 可能是图中的 ( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 解析 ∵△MNP≌△MEQ, ∴点Q 应是图中的D 点,如图, 故选择D. 点评 本题考查了全等三角形的性质, 能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的 关键,注意:全等三角形的对应角相等,对应 边相等. 考点2 考查三角形全等的条件 例3 如图,点A,B,C,D 在一条直线 上,AB=CD,AE∥BF,CE∥DF. 求证:AE=BF. 解析 利用AB=CD 寻找边相等的条 件,通过平行得到角相等的条件,进而得到三 角形全等. 证明:∵AB=CD,∴AB+BC=CD+ BC.即AC=BD. ∵AE∥BF,CE∥DF,∴∠A=∠FBC, ∠D=∠ECA. 在△AEC 和△BFD 中, ∠A=∠FBC AC=BD, ∠ECA=∠D 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ∴△AEC≌△BFD,∴AE=BF. 点评 证明三角形全等,需要根据判定 方法寻找条件,平行线的条件为三角形全等 的证明提供了证明角相等的条件. 考点3 考查角的平分线的性质 例4 (广州中考题)已知OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD⊥OA,PE⊥ OB,垂足分别为点D,E,PD=10,则PE 的 长度为 . 解析 由角平分线的性质及题中已知条 件可得PD=PE,又因为PD=10,所以PE =10. 点评 本题考查了角平分线的性质,解 题的关键是理解并掌握角平分线的性质. 例5 如图,△ABC 中,AB=4,BC=6, BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点E, AF⊥BC 于点F,若DE=2,则AF 的长为 ( ) 9 第 一 部 分 温 故 知 新 A. 3 B. 10 3 C. 7 2 D. 15 4 解析 作DH⊥BC 于点H, ∵BD 是△ABC 的 角 平 分 线,DE⊥ AB,DH⊥BC, ∴DH=DE=2, △ABD 的 面 积 + △CBD 的 面 积 = △ABC 的面积, ∴ 1 2×4×2+ 1 2×6×2= 1 2×6×AF , 解得,AF= 10 3 , 故选择B. 点评