专题1-1 空间向量与立体几何12类选填小题专练-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-1 空间向量与立体几何12类选填小题专练 知识点梳理 题型一 通过基底表示目标向量 题型二 空间向量的基底 题型三 空间向量共面问题 题型四 空间向量平行或垂直 题型五 投影问题 题型六 夹角问题 题型七 空间向量数量积 题型八 利用空间向量求模长 题型九 立体图形中的极化恒等式 题型十 点到平面距离问题 题型十一 利用空间向量求最值与范围 题型十二 综合性问题 知识点梳理 一、空间向量的基本定理 1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、共面向量 1．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 2．直线l的方向向量 如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa. 定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 3．解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 4．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 (1) ＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)； (4)∥ (或∥或∥)．　 三、投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图②向量c称为向量a在直线l上的投影． (3)向量a在平面β上的投影 如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′， 则向量 (a′)称为向量a在平面β上的投影向量． 四、夹角问题 1.两异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 注意：两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2.直线和平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n， 则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝. 注意：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3.两个平面的夹角 （1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？ 区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是. （2）平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 提示　两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 注意：(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 五、极化恒等式 在三角形ABC中（M为BC的中点），则 A B C M 证明（基底法）：因为， 所以 题型一 通过基底表示目标向量 1． 在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 2． 在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则 A． B． C． D． 3． 如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（　　）    A． B． C． D． 4． 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 5． 在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 6． 如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则______． 题型二 空间向量的基底 7． 给出下列命题: ①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基； ②已知向量，则与任何向量都