专题1-4 椭圆与双曲线22类常考题型汇总-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-4 椭圆与双曲线22类常考题型汇总 知识点梳理 模块一：椭圆与双曲线的基本性质 【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念 【题型2】双曲线的渐近线相关计算 【题型3】求焦点三角形面积 【题型4】定义法求轨迹 【题型5】设点运算求轨迹方程 【题型6】光学性质 【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题 模块二：最值问题 【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短 【题型9】直线与椭圆距离最短 【题型10】线段和差最值问题 【题型11】焦点弦的最小值 【题型12】焦半径的最小值问题 【题型13】利用基本不等式求最值 模块三：求离心率与其它值 【题型14】结合余弦定理求焦半径 【题型15】余弦定理用2次 【题型16】构造齐次化方程 【题型17】双焦点三角形模型：导边 【题型18】利用几何性质求离心率 【题型20】与向量结合 【题型21】其它计算求值问题 【题型22】求离心率范围 知识点梳理 一、椭圆的基本量 1. 如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径． 图(1) 图(2) 2. 如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________． 3. 椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________． 4. 设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________． 1. 　2. b2·tan 　3. a＋c　a－c　4. － 二、直线与椭圆 1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). (1) 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0直线与圆锥曲线________； ③Δ<0直线与圆锥曲线________． 2. 圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________． 答案：1. (1) ①相交　②相切　③相离 2. |x2－x1|＝|y2－y1| 三、双曲线的基本量运算 1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________． 2. 如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________． 3. 焦点到渐近线的距离为________． 4. 设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为________． 答案：1. 　2. 　3. b　4. 四、点差法 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 五、第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现. 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，， ，， ∵P，A在椭圆上，代入坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的 模块一：椭圆与双曲线的基本性质 【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念 1． 已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题： 甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程； 丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程． 其中，真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． （2023上·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3． （2023佛山·高二期末）（多选）已知曲线的方程为，则可能是（    ） A．半径为的圆 B．焦点在上的椭圆，且长轴长为 C．等轴双曲线 D．焦点在上的双曲线，且焦距为 4． （2023上·广东惠州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列判断正确的