第一部分 第14章 勾股定理-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（华东师大版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第14章 勾股定理 直 角 三 角 形 勾股定理 应用验证 拼图法 勾股定理的 逆定理 反证法 应用 判断直角三角形 勾股数 应用 解 决 实 际 问 题 1. 勾股定理:如果直角三角形两直角边 分别为a,b,斜边为c,那么 ,即直角 三角形 的平方和等于 . 2. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三 边长a,b,c满足 ,那么这个三角形 是 . 3. 勾股数:满足a2+b2=c2 的三个正 整数a,b,c称为勾股数.写出常用的勾股数 (按照数字从小到大的顺序):(1)3,4, ;(2)5, ,13;(3) ,8,10;(4)8, 15, ;(5)7,24, ;(6)9, ,41. 考点一 勾股定理的验证 例1 如图是用硬纸板做成的四个全等 的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边 长为c,一个边长为c的正方形,请你将它们 拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)画出拼成的这个图形的示意图;(2) 证明勾股定理. 解答 方法一:(1)如图甲;(2)证明: ∵ 大正方形的面积表示为(a+b)2,大正方 形的面积也可表示为c2+4× 1 2ab ,∴ (a+ b)2=c2+4× 1 2ab ,a2+b2+2ab=c2+2ab, ∴ a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方. 方法二:(1)如图乙;(2)证明:∵ 大正方 形的面积表示为c2,又可以表示为 1 2ab×4+ 91 第 一 部 分 温 故 知 新 (b-a)2,∴ c2= 1 2ab×4+ (b-a)2,c2= 2ab+b2-2ab+a2,∴ c2=a2+b2.即直角 三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 点评 本题考查了勾股定理的证明方 法,首先要根据已知图形进行组合,然后根据 边长关系、面积关系列出恒等式,进而得到勾 股定理的证明. 考点二 直角三角形的判断 例2 阅读下列题目的解题过程: 已知a,b,c 为△ABC 的三边,且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试 判 断 △ABC 的 形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4 (A),∴ c2 (a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) (B),∴c2= a2+b2 (C),∴△ABC 是直角三角形. 问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出 现错误? 请写出该步的代号: ; (2)错误的原因为: ; (3)本题正确的结论为: . 解答 (1)容易看出从第三步即C开始 出现错误;(2)错误的原因是没有考虑a2- b2=0的情况;(3)△ABC 是直角三角形或 等腰三角形. 点评 勾股定理的逆定理的一个重要应 用就是判定三角形是不是直角三角形. 考点三 直角三角形中已知两边求第 三边 例3 在直角三角形中,若两边长分别 为3,4,则第三边长为 . 分析 设第三边的长为x.(1)当x 为斜 边时,由勾股定理,得x2=33+42,解得x =5. (2)当x 为直角边时,由勾股定理,得42 =32+x2,解得x= 7.所以,第三边的长为 5或 7. 答案 5或 7 点评 本题考查了在用勾股定理时,不 能确定直角边时,应进行分类讨论. 考点四 勾股定理在网格中的应用 例4 如图,小方格的边长为1厘米,蚂 蚁沿图中的折线从点A 出发,经过点B,C 爬到点D,一共爬了多少厘米? 解答 如图,在网格中构造Rt△AEB、 Rt△BFC 和Rt△CGD,则AE=3,EB=4, BF=5,FC=12,CG=8,GD=6,所以 AB = AE2+EB2 =5,BC= BF2+FC2 = 13,CD= CG2+GD2=10,所以蚂蚁经过 的路程是AB+BC+CD=5+13+10=28 (厘米). 点评 本题考查了勾股定理,关键是构 造直角三角形,然后根据格点求出相应的直 角三角形的边长,再根据勾股定理求解. 考点五 利用勾股定理求作线段 例5 已知单位长度为“1”,画一条线 段,使它的长为 17. 解答 17是无理数,直接用尺子是作 不出来的,但由勾股定理可知,两直角边分别 为1和4的直角三角形的斜边长为 17. 由 此可以先作一个直角∠C,截取两边AC=1 和BC=4,连接AB,则AB= 17. 点评 本题考查了勾股定理在作图中作 长度为无理数的线段时的重要应用,关键是 分析这个无理数平方可以由哪些正整数平方 02 第 一 部 分 温 故 知 新 和组成,根据勾股定理得到. 考点六 勾股定理求最短路程 例6 如图是一