5.4.3 正切函数的性质与图象（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 第 5章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质与图象 目 录 1 学习目标 2 新课讲解 3 课本例题 4 课本练习 5 题型分类讲解 6 随堂检测 7 课后作业 学习目标 1.能画出正切函数的图象．(重点) 2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 请问:研究正弦函数、余弦函数之后你积累了那些经验？ 单位圆技法 平移正弦线、余弦线 诱导公式、函数性质 画函数图象 五点法 描点法 知识回顾 情境导入 事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题. 　研究太阳光和地面的角度问题常常用到哪个函数的性质与图象呢? 想一想 提示　正切函数. 2.奇偶性 1. 周期性 2.奇偶性 思考： 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其性质会有什么帮助?           A T 0 X Y 渐近线 渐近线 O X Y       x y 0 o1 TA TA T A T A T A T A AT AT A T A T A T A T 探究: 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征? ３.单调性       ４.值域 5.对称性 对称性：正切函数的图象是中心对称图形， 值域： 定义域： 周期性： 奇偶性： 单调性： 奇函数 在开区间 内递增 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说正切函数在整个定义域上单调递增？ 例6. 求函数的定义域、周期及单调区间． 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 解：自变量的取值应满足; ≠+ 即 ≠+2 所以，函数的定义域是 设z=，又， 所以= 即 = 因为, 都有= 所以，函数的周期为２． 由 解得； 因此，函数在区间 (, ), , 上单调递增． 课本练习 题型一：正切函数的定义域、值域问题 【例1】求下列函数的定义域和值域： (1) (2) . 解：(1)依题意得所以. 所以函数的定义域是 由正切函数的值域可知该函数的值域是 题型分类讲解 【例1】求下列函数的定义域和值域： (1) (2) . 解：(2)依题意得所以. 结合的图象可知，在区间上， 满足的角应满足 所以函数的定义域为其值域为 【变式】函数在上的最大值与最小值的差为( ). A. B. C. D. 答案：A. 解：∵，∴ 又在上为单调递增函数 ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值，. ∴最大值与最小值的差为： 题型二：与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题 【例2】(1)若的周期为1，则的值为( ). A. B. C. D. 答案：D. 解：∵的周期为 ∴即 则 解：①∵ 其定义域为关于原点对称， 有 ∴是偶函数. ②∵ 其定义域为关于原点对称， 有 ∴是奇函数. 【例2】(2)判断下列函数的奇偶性： ①；② . 【变式】(1)(多选)已知函数，则下列结论正确的是( ). A.是的一个周期 B. C.的值域为R D.的图象关于点对称 答案：ACD. 解：∵的最小正周期为，∴是的一个周期，故A正确. ∵∴B错误. 易知的值域为R，∴C正确. 的图象关于点对称，∴D正确. (2)，若，则的值为( ). A.0 B.3 C.1 D.2 答案：A. 解：∵， ∴当时，有， ∴ 则 题型三：正切函数的单调性及应用 例3.求函数的单调递减区间. 解：∵ ∴的单调递减区间是的单调递增区间. 由得： ， 所以函数的单调递减区间是 【变式】利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小. (1)与；(2)与. 解：(1)∵ ， 且在上是增函数， ∴即. (2)， ∵在上单调递增， ∴即. 随堂检测 性质 正切函数 正弦函数、余弦函数 定义域 R 值域 R [－1,1] 最值 无 最大值为1 最小值为－1 单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T＝π T