第二部分 构造二元一次方程组有技巧&增设辅助元巧解应用题-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（北师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 构造二元一次方程组有技巧 纵观各类数学试卷,通过仔细观察、分 析,不难发现许多题目虽然不是二元一次方 程,但是解决的方法就是二元一次方程组.本 文就目前同学所掌握的数学知识,谈谈构造 二元一次方程组的技巧和方法. 一、 利用二元一次方程组解的定义构造 例 1 已 知 x=2, y=1 是 方 程 组 2x+(m-1)y=2, nx+y=1 的解,求m+n 的值. 分 析 因 为 x=2, y=1 是 方 程 组 2x+(m-1)y=2, nx+y=1 的 解,所 以 可 得 方 程 组 4+m-1=2, 2n+1=1, 再解方程组可得m,n 的值. 解 将 x=2, y=1 分 别 代 入 方 程 组,得 4+m-1=2, 2n+1=1, 解 得 m=-1 , n=0, ∴m +n= -1+0=-1. 二、 利用方程组同解构造 例 2 已 知 方 程 组 2x-y=7, ax+y=b 和 x+by=a, 3x+y=8 有 相 同 的 解,求(ax+by)2 019 的值. 解 因为关于x,y 的两个方程组同解, 因此可得这四个方程同解.将不含字母a,b 的方程联立得: 2x-y=7, 3x+y=8, 解这个方程组得 x=3, y=-1. 将 其 余 两 个 方 程 联 立 得: ax+y=b, x+by=a. 再 将 x=3 , y=-1 代 入 得 3a-1=b, 3-b=a, 解这个方程组得 a=1 , b=2. 故(ax+ by)2 019=(3-2)2 019=1. 三、 利用非负数的性质构造 例3 已知(5a-2b-3)2+|2a-3b+1| =0,求a+b的值. 分析 因为|2a-3b+1|是一个非负 数,(5a-2b-3)2 也是一个非负数,由非负 数的性质(几个非负数的和为0,则这几个非 负数都为0)可列出方程组 5a-2b-3=0, 2a-3b+1=0, 求 出a,b的值即可. 解 根据题意,由非负数的性质可得 5a-2b-3=0, 2a-3b+1=0, 解得a=1 , b=1, 故a+b=2. 在式子x2+px+q中,当x=-1时,它 的值是-5;当x=3时,它的值是3,则p,q 的值是多少? 14 第 二 部 分 专 题 选 讲 增设辅助元 巧解应用题 有一些需要列方程组解决的应用题比较 特殊,若按常规方法设未知数,则数量之间的 关系不易理清,难以列出方程组.该如何解决 呢? 我们可以根据具体问题,恰当地增设未 知数,设而不求,联系转化,可使问题化难为 易,迎刃而解. 例 防汛指挥部决定冒雨排一个蓄水池 中的水,假设每分钟降雨量相同,每台水泵的 排水量也相同,若开两台水泵需40分钟排完 积水,若开4台水泵则需16分钟排完积水, 若开6台水泵,则需几分钟排完积水? 分析 由于冒雨排水,所以排出的水量 不仅是蓄水池中原有的积水,还有天空降的 雨,且降的雨量随着时间的增加而增加,所以 不仅要设排完积水所需时间,还需增设蓄水 池中原有的水量,天空每分钟的降雨量及每 台水泵每分钟的排水量,这样易于理清数量 间的关系,使问题顺利获解. 解 设开6台水泵,需x 分钟排完积 水,(增设)开始排水前蓄水池中已有水量为 A,天空每分钟的降水量为B,每台水泵每分 钟的排水量为C,根据题意,得 A+40B=2×40C ①, A+16B=4×16C ②, A+xB=6xC ③, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 由①、②解得A= 160 3C ,B= 2 3C. 将 A= 160 3 C ,B= 2 3C 代入③,解 得 x=10. 答:若开6台水泵,则需10分钟排完 积水. 有一漏酒坛装有一坛酒,三人共饮,六日 可尽;五人共饮,四日可尽,问:一人饮之,几 日可尽? 24 (2)当点P 在直线l1 上方时,有∠3= ∠2-∠1;当点P 在直线l2 下方时,有∠3= ∠1-∠2. 第二部分 专题选讲 实数比较大小的方法技巧 小试牛刀 1. B 2. (1)< (2)> 3. 解:∵27= 28,33= 27. 又∵28>27,∴27>33. 4. 解:(2+ 6)2=8+2 12,(3+ 5)2=8+2 15. ∵8+212<8+215, ∴ 2+ 6< 3+ 5. 构造二元一次方程组有技巧 小试牛刀 解:根据题意得: 1-p+q=-5, 9+3p+q=3, 解这 个方程组得: p=0, q=-6. 增设辅助元 巧解应用题 小试牛刀 解:设一人饮之n 日可尽,(增设)一人 一天饮酒量为x 斤,一天漏掉的酒为y 斤, 根据题意,得 6×3x+6y=4×5x+4y ①, 4×