第二部分 分类讨论思想的应用-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（北师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 分类讨论思想的应用 分类讨论思想就是要针对数学对象的共 性与差异性,将其区分为不同种类,从而克服 思维的片面性,有效地考查学生思维的全面 性与严谨性.要做到成功分类,需注意两点: 一是要有分类意识,善于从问题的情境中抓 住分类对象;二是找出科学合理的分类标准, 满足不重不漏的原则. 例 已 知 ∠MON =40°,OE 平 分 ∠MON,点A,B,C 分别是射线OM,OE, ON 上的动点(A,B,C 不与点O 重合),连 接AC 交射线OE 于点D,设∠DAO=x°. 图1 (1)如图1,若AB∥ON,则①∠ABO 的 度数是 . ②当∠BAD=∠ABD 时,x= ; 当∠BAD=∠BDA 时,x= . (2)若AB⊥OM,则是否存在这样的x 的值,使得△ADB 中有两个相等的角? 若 存在,求出x 的值,若不存在,说明理由. 分析 由 于 点 A,B,C 分 别 是 射 线 OM,OE,ON 上的动点,点 A,B,C 在运动 的过程中会导致△ADB 形状的不确定,可 能 出 现 ∠ADB = ∠BAD、∠ADB = ∠ABD、∠BAD=∠ABD 等 多 种 情 况,同 时还可能出现点D 在O,B 两点之间及点D 在O,B 两点之外等情况,解题时应按各种可 能出现的情况分类求解. 解 (1)①如图1,因为∠MON=40°, OE 平分∠MON,则∠AOD=∠DOC=20°, 因 为 AB ∥ON,所 以 ∠ABO = ∠BOC=20°. ②如图1,当∠BAD=∠ABD=20°时, ∠ADO=∠BAD+∠ABD=40°, ∠DAO=180°-(∠AOD+∠ADO)= 180°-(20°+40°)=120°,即x=120. 当∠BAD=∠BDA 时,如图2, ∠BDA = ∠BAD = 1 2 (180° - ∠ABD)= 1 2 (180°-20°)=80°, ∠DAO = ∠BDA - ∠AOD =80°- 20°=60°,即x=60. (2)若AB⊥OM,存在这样的x 的值,使 得△ADB 中有两个相等的角. 因 为 AB ⊥OM,∠AOB =20°,所 以 ∠ABD=70°, ① 当 点 D 在 O,B 两 点 之 间,且 ∠ADB=∠BAD 时,如图3, ∠ADB = ∠BAD = 1 2 (180° - ∠ABD)= 1 2 (180°-70°)=55°, 所 以 ∠DAO = ∠ADB - ∠AOD = 55°-20°=35°,即x=35. ② 当 点 D 在 O,B 两 点 之 间,且 ∠ADB=∠ABD 时,如图4, ∠ADB=∠ABD=70°, 所 以 ∠DAO = ∠ADB - ∠AOD = 34 第 二 部 分 专 题 选 讲 70°-20°=50°,即x=50. ③ 当 点 D 在 O,B 两 点 之 间,且 ∠BAD=∠ABD 时,如图5, ∠BAD=∠ABD=70°, 所 以 ∠DAO = ∠BAO - ∠BAD = 90°-70°=20°,即x=20. ④ 当 点 D 在 O,B 两 点 之 外,且 ∠BAD=∠ADB 时,如图6, ∠BAD=∠ADB= 1 2∠ABO= 1 2× 70°=35°. 所 以 ∠DAO = ∠BAO + ∠DAB = 90°+35°=125°,即x=125. 由于∠ABD=∠BAO+∠AOB=90°+ 20°=110°,为钝角, 所以不可能出现∠BAD=∠ABD 及 ∠ADB=∠ABD 这两种情况. 综上所述,若 AB⊥OM,存在x 使得 △ADB 中有两个相等的角,x 的值分别为 35,50,20,125. 图2 图3 图4 图5 图6 1. 一直角三角形的两边长分别为3和 4,则第三边的长为 ( ) A. 5 B. 7 C. 5 D. 5或 7 2. 如果m 是任意实数,则点P(m-4, m+1)一定不在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某社区活动中心为鼓励居民加强体 育锻炼,准备购买10副某种品牌的羽毛球 拍,每副球拍配x(x≥2)个羽毛球,供社区 居民免费借用.该社区附近A,B 两家超市 都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售,且 每副球拍的标价均为30元,每个羽毛球的标 价均为3元,目前两家超市同时在做促销 活动: A 超市:所有商品均打九折(按标价的 90%)销售; B 超市:买一副羽毛球拍送2个羽毛球. 设在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的 费用为yA(元),在B 超市购买羽毛球拍和 羽毛球的费用为yB(元).请解答下列问题: (1)分别写出y