第二部分 方差的四种求法-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（北师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 方差的四种求法 方差的求算方法有多种,在计算方差时, 计算公式的选择是非常重要的.因此,我们对 每一个方差公式所含的意义要有深刻的理 解,这样才能灵活自如地选择公式,使计算过 程简便,避免不必要的错误. 一、 求方差的四个公式 ①基本公式:s2= 1 n [(x1-􀭵x)2+(x2- 􀭵x)2+…+(xn-􀭺x)2]; ②简化计算公式Ⅰ: s2= 1 n (x21+x22+…+x2n)-􀭺x2 或s2= 1 n (x21+x22+…+x2n-n􀭺x2). 快捷记忆法: 方差等于原数据平方的平均数减去原数 据平均数的平方. ③简化计算公式Ⅱ: s2= 1 n (x1'2+x2'2+…+xn'2)-x'2 或 s2= 1 n (x1'2+x2'2+…+xn'2-nx'2). 当一组数据中的数据较大时,可以仿照 求平均数的新数据法,将每个数据都减去一 个与它们的平均数接近的常数a,从而得到 一组新的数据x1'=x1-a,x2'=x2-a,…, xn'=xn-a,那么s2= 1 n (x1'2+x2'2+…+ xn'2-nx'2),其中x'为新数据的平均数. 快捷记忆法: 方差等于新数据平方的平均数减去新数 据平均数的平方. ④新数据法: s2= 1 n [(x1'-x')2+(x2'-x')2+…+ (xn'-x')2]. 原数据组x1,x2,…,xn 的方差与新数 据组x1'=x1-a,x2'=x2-a,…,xn'= xn-a 的方差相等,也就是说,如果数据组 x1,x2,…,xn 的方差是s2,那么,新数据组 x1+b,x2+b,…,xn+b的方差仍是s2(b为 任意常数);新数据组ax1,ax2,…,axn 的方 差是a2s2(a 为任意常数);新数据组ax1+ b,ax2+b,…,axn+b的方差是a2s2. 二、 选择合适的公式计算方差 例 计算下列各题的方差: (1)-1,2,3,1,-3,3; (2)9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8, 9.7; (3)501,502,503,504,505,506,507, 508,509. 解 (1)用简化计算公式Ⅰ, 􀭺x= 1 6 (-1+2+3+1-3+3)= 5 6 , 54 第 二 部 分 专 题 选 讲 s2= 1 6× [(-1)2+22+32+12+(-3)2+ 32]- 56 2 = 173 36. (2)用基本公式, 􀭵x=10+ 1 8× (-0.1+0.3-0.2+0.1+ 0.4+0-0.2-0.3)=10, ∴s2= 1 8× [(9.9-10)2+(10.3-10)2+ (9.8-10)2+(10.1-10)2+(10.4-10)2+ (10-10)2+(9.8-10)2+(9.7-10)2] = 1 8×0.44=0.055. (3)解法一:用简化公式Ⅱ, 取a=500,则有x'= 1 9× (1+2+3+ 4+5+6+7+8+9)=5. ∴s2= 1 9× (12+22+32+42+52+62+ 72+82+92)-52= 20 3. 解法二:用新数据法, 取a=500,则有x'= 1 9 (1+2+3+4+ 5+6+7+8+9)=5. ∴s2= 1 9× [(1-5)2+(2-5)2+(3- 5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7- 5)2+(8-5)2+(9-5)2] = 1 9× (16+9+4+1+0+1+4+9+ 16)= 60 9= 20 3. 甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位:厘 米)如下: 甲队:178,177,179,178,177,178,177, 179,178,179; 乙队:178,179,176,178,180,178,176, 178,177,180; (1)将下表填写完整. 身高 176177178179180 甲队(人数) 3 4 0 乙队(人数) 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为 厘米,乙队队员身高的平均数为 厘米. (3)你认为哪支仪仗队更为整齐? 简要 说明理由. 64 方差的四种求法 小试牛刀 解:(1) 身高 176177178179180 甲队(人数) 0 3 4 3 0 乙队(人数) 2 1 4 1 2 (2)􀭺x甲= 1 10× (3×177+4×178+3× 179)=178(厘米), 􀭺x乙= 1 10× (2×176+1×177+4×178+ 1×179+2×180)=178(厘米). (3)甲仪仗队更为整齐. 理由如下: s2甲= 1 10× [3×(177-178)2+4×(178 -178)2