第一部分 第一章 勾股定理-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（北师大版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第一部分 温故知新 第一章 勾股定理 1. 勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 ,即如果直角 三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 c2= ,它 的 变 式 有: , . 2. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三 边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形 是 三角形. 3. 勾股数:满足 的三个正整数 称为勾股数. 4. 几何体表面的最短路径问题,一般是 将表面展开得到平面,转化为平面上两点间 的最短距离问题,一般与勾股定理结合求解. 考点1 直角三角形的判定 例1 一个三角形的三边的长分别是a= 5,b=13,c=12,这个三角形是直角三角形吗? 分析 根据三角形的边角关系可知,当 一个三角形是直角三角形时,这个三角形的 两条较短的边的平方和等于最长边的平方. 解 因为a2+c2=169,b2=169,所以 a2+c2=b2,所以这个三角形是直角三角形. 考点2 勾股数 例2 观察下列一组数: 列举:3,4,5,猜想:32=4+5; 列举:5,12,13,猜想:52=12+13; 列举:7,24,25,猜想:72=24+25; …… 列举:13,b,c,猜想:132=b+c; 请你分析上述数据的规律,结合相关知 识求得b= ,c= . 分析 认真观察三个数之间的关系:首 先发现每一组的三个数为勾股数,第一个数 为从3开始连续的奇数,第二、三个数为连续 的自然数;进一步发现第一个数的平方是第 二、三个数的和;最后得出第n 组数为2n+ 1, (2n+1)2-1 2 , (2n+1)2+1 2 ,由 此 规 律 解 决问题. 解 84 85 1 第 一 部 分 温 故 知 新 考点3 非直角三角形中的勾股定理的 应用 例3 已知△ABC 中,AB=17,AC= 10,BC 边上的高AD=8,则边BC 的长为 ( ) A. 21 B. 15 C. 6 D. 21或9 分析 三角形中某边上的高既可以在三 角形内部,也可以在三角形外部,需要考虑两 种情况. 解 当 AD 在△ABC 内部时,如图1, 由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=172- 82=225,即BD=15.CD2=AC2-AD2= 102-82=36,即 CD=6.则 BC=BD+ DC=15+6=21;当AD 在△ABC 外部时, 如图2,同样,由勾股定理可求得BD=15, CD=6,所以BC=15-6=9.故BC 的长为 21或9.故选D. 图1 图2 考点4 实际生活中的勾股定理的应用 例4 如图,一架长2.5米的梯子 AB 斜靠在竖直的墙BD 上,这时梯足A 到墙底 端D 的距离为0.7米,如果梯子顶端沿着墙 下滑0.4米,那么梯足向外平移 米. 分析 由勾 股 定 理,可 分 别 求 出 BD, A'D 的长度,A'D 与AD 相减即可得出梯足 向外平移的距离. 解 由勾股定理,BD2=AB2-AD2= 2.52-0.72=5.76(米2),∴BD=2.4(米), B'D=BD-BB'=2.4-0.4=2(米),A'D2= A'B'2-B'D2=2.52-22=2.25(米),∴A'D= 1.5(米),故平移1.5-0.7=0.8(米). 考点5 曲面上两点之间线段最短问题 例5 如图,圆柱形无盖 玻璃容器高18 cm,底面周长 为60 cm,在外侧距下底1 cm 的点C 处有一蜘蛛,与蜘蛛 相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1 cm 的F 处有一苍蝇,试求蜘蛛捕获苍蝇所走的 最短路线的长度. 分析 由于蜘蛛与苍蝇均在玻璃容器的 外侧,因而蜘蛛不能直接到达点F,需沿侧面 爬行.为此,可将曲面沿AB 展开,显然蜘蛛 所走的最短的路线即为线段CF,从而可构 造直角三角形,用勾股定理求出CF 的长. 解 将曲面沿AB 展开,如图所示,过C 作CE⊥AB 于E. 在 Rt△CEF 中,∠CEF=90°,EF= 18-1-1=16(cm),CE= 1 2×60=30 (cm), 由勾 股 定 理,得 CF2=CE2+EF2= 302+162=1156, 所以CF=34(cm). 答:蜘蛛所走的最短路线是34 cm. 2 期末·寒假大串联 八年级数学(北京师范教材适用) 部分参考答案 第一部分 温故知新 第一章 勾股定理 重点、难点精析 1. 平方和 平方 a2+b2 a2=c2- b2 b2=c2-a2 2. 直角 3. a2+b2=c2 第一章测试卷 一、 1. C 2. A 3. B 4. B