第一部分 第三章 位置与坐标-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（北师大版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第三章 位置与坐标 1. 位置的确定:确定位置的方法主要有 两种:一是由 和方位角确定;二是建 立平面直角坐标系由一对 确定. 2. 平面直角坐标系:在平面内有公共 ,且互相 的两条数轴就构 成了平面直角坐标系. (1)坐标轴:在平面直角坐标系中,水平 方向的坐标轴叫 轴(x 轴);铅直方 向的坐标轴叫 轴(y 轴),x 轴和y 轴统称坐标轴,这个平面叫做坐标平面. (2)坐标原点:x 轴和y 轴的交点叫做坐 标 . (3)象限:右上部分叫做第 象 限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第 象限、第 象限和第 象限. 3. 平面直角坐标系的性质: (1)数轴上的点与实数一一对应;而坐标 平面内的点与 一一对应. (2)特殊点的坐标特征:①x 轴上的点的 坐标为0;②y 轴上的点的 坐标为0;③原点坐标(0,0);④第一、三象限 角平分线上的点坐标为(a,a);⑤第二、四象 限角平分线上的点的坐标为(a,-a);即设P (a,b),若a=0,则点P 在 轴上;若 b=0,则点P 在 轴上;若a+b=0, 则点P 在 、 象限两坐标轴 夹角的平分线上;若a=b,则点P 在 、 象限两坐标轴夹角的平分线上. (3)对称点的坐标特征:点P(a,b)关于 x 轴的对称点的坐标为(a,-b),即 相反, 不变;关于y 轴的对称点的坐 标为(-a,b),即 相反, 不变. (4)点到坐标轴的距离:点P(a,b)到x 轴的距离是 ;到y 轴的距离是 ;到原点的距离为 a2+b2. (5)平行线上的点的坐标特征:平行于y 轴的直线上的点,横坐标相等;平行于x 轴的 直线上的点,纵坐标相等.即设P1(a,b),P2(c, d),若a=c,b≠d,则P1P2∥ 轴;若 b=d,a≠c,则P1P2∥ 轴. 4. 用语言表达点的坐标变化与图形变 换之间的关系: (1)横坐标不变,纵坐标乘-1,则所得图 形与原图形关于 轴对称. (2)纵坐标不变,横坐标乘-1,则所得图 形与原图形关于 轴对称. 01 第 一 部 分 温 故 知 新 考点1 平面内点的位置确定 例1 如图是小刚的一张笑脸,他对妹 妹说:如果我用(0,2)表示左眼,用(2,2)表示 右眼,那么嘴的位置可以表示成 ( ) A. (1,0) B. (-1,0) C. (-1,1) D. (1,-1) 分析 由(0,2)表示左眼,用(2,2)表示 右眼,可以确定平面直角坐标系中x 轴与y 轴的位置,从而可以确定嘴的位置. 解 根据(0,2)表示左眼,用(2,2)表示 右眼,可得嘴的坐标是(1,0),故答案为A. 考点2 轴对称与坐标变化 例2 已知点P(2,-3)关于y 轴的对 称点Q 的坐标是(a+b,1-b),则ab的值为 . 分析 因为P(2,-3),Q(a+b,1-b) 关于y 轴对称,根据关于y 轴对称点的坐标 特点:纵坐标相同,横坐标互为相反数可得 -2=a+b,-3=1-b,解得a=-6,b= 4.所以ab=(-6)×4=-24. 解 -24 考点3 平面直角坐标系中的新定义运 算题 例3 在平面直角坐标系中,对于平面 内任一点(m,n),规定以下两种变换: (1)f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)= (2,-1); (2)g(m,n)=(-m,-n),如g(2,1)= (-2,-1). 按 照 以 上 变 换 有:f [g (3,4)]= f(-3,-4)=(-3,4),那么g[f(-3,2)]= . 分析 根据新定义可知,解答时要分两 步走:第一步先进行f 变换法则的运算;第 二步再进行g 变换法则的运算,注意运算顺 序及坐标的符号变化. 解 因为f(-3,2)=(-3,-2),所以 g[f(-3,2)]=g(-3,-2)=(3,2),故答案 为(3,2). 考点4 平面直角坐标系中规律探索题 例4 如图,在平面直角坐标系中,已知 点A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1, -2),把一根长为2014个单位长度且没有弹 性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在 A 处,并按A→B→C→D→A…的规律紧绕 在四边形ABCD 的边上,则细线的另一端所 在位置的点的坐标是 . 分析 根据点的坐标求出四边形 AB- CD 的周长,用2014除以其周长,确定这根 细线绕四边形的圈数,再根据余数的情况确 定细绳的另一端的位置.