第一部分 第七章 平行线的证明-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（北师大版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第七章 平行线的证明 1. 命题:判断一件事情的句子叫做 ,每个命题都是由 和 两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知 事项推断出的事项.命题一般写成“如果…… 那么……”的形式,“如果”引出的部分是 ,“那么”引出的部分是 . 2. (1)真命题: 的命题称为真 命题. (2)假 命 题: 的 命 题 称 为 假 命题. 3. (1)公理:人们公认的 命题 称为公理. (2)定理:经过证明的 命题称为 定理. (3)证明:推理的过程称为证明. 4. 平行线的判定定理1:同位角 , 两直线平行. 平行线的判定定理2:内错角 , 两直线平行. 平行线的判定定理3:同旁内角 , 两直线平行. 5. 平行线的性质定理1:两直线平行,同 位角 . 平行线的性质定理2:两直线平行,内错 角 . 平行线的性质定理3:两直线平行,同旁 内角 . 6. 三角形内角和定理:三角形的内角和 等于 . 7. 三角形内角和定理的两个推论: 推论1 三角形的一个外角 和 它不相邻的两个内角的和. 推论2 三角形的一个外角 任 何一个和它不相邻的内角. 考点1 命题、定理、公理 例1 如 图 所 示,已 知 ∠1= ∠2,则 AB=AC.判断这个例题是真命题还是假命 题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命 题,请添加一个适当的条件使它成为真命题, 并加以证明. 分析 要想得到AB=AC,可证△ABD 43 第 一 部 分 温 故 知 新 ≌△ACD,已知条件只有∠1=∠2,AD= AD 两个条件,故不能说明两个三角形全等, 即命题是假命题;已知一边及一角,只需添加 一个角即可证明两个三角形全等. 解 假命题;添加的条件是∠B=∠C 或∠ADB=∠ADC. (1)选∠B=∠C 为条件, 证明:在△ABD 和△ACD 中, ∵∠1=∠2,∠B=∠C,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(AAS), ∴AB=AC. (2)选∠ADB=∠ADC 为条件, 证明:在△ABD 和△ACD 中, ∵ ∠1 = ∠2,AD = AD,∠ADB =∠ADC, ∴△ABD≌△ACD(ASA), ∴AB=AC. 考点2 平行线的性质和判定的综合 应用 例2 如图,BD 是∠ABC 的平分线, ED∥BC,∠FED = ∠BDE.求 证:∠AEF =∠DEF. 分析 由图形可知∠AEF 与∠DEF 不 是同位角、内错角、同旁内角,故不能直接由 平行线的性质得到,所以需要寻找中间量.由 平 行 线 的 条 件 和 性 质 可 得 到 ∠AEF 与 ∠DEF 分别与∠ABD 相等. 解 ∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠DBC(角平分线的定义). ∵ED∥BC(已知), ∴∠BDE=∠DBC(两直线平行,内错 角相等). ∴∠ABD=∠BDE(等量代换), 又∵∠FED=∠BDE(已知), ∴EF∥BD(内错角相等,两直线平行), ∴∠AEF=∠ABD(两直线平行,同位 角相等), ∴∠AEF=∠DEF(等量代换). 考点3 条件结论双开放 例3 如 图,给 出 下 列 三 个 论 断: ①∠B+∠D=180°;②AB∥CD;③BC∥ DE.请你以其中两个论断作为已知条件,填 入“已知”栏中,另一个论断作为结论,填入 “结论”栏中,使之成为一道由已知可得到结 论的题目,并说明理由. 已知,如图, , 结论: . 理由: . 分析 认真观察图形并分析三个论断, 考虑到平行线的条件和性质,可得符合题意 的有3种情况,即:①②→③;①③→②;②③ →①,选其中一种即可,如:①②→③. 解 因为AB∥CD(已知), 所以∠B=∠C(两直线平行,内错角相 等). 又因为∠B+∠D=180°(已知), 所以∠C+∠D=180°. 所以BC∥DE(同旁内角互补,两直线平 行). 53 则平均数为1 10× (2+4+6+8+7+7+ 8+9+9+10)=7(环),中位数为7.5环, 方差为1 10× [(2-7)2+(4-7)2+(6- 7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8- 7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=5.4 (环2); 甲的射击成绩为9,6,7,6,2,7,7,8,9, 平均数为7, 则甲第八次成绩为7×10-(9+6+7+ 6+2+7+7+8+9)=9(环), 成绩为2,6,6,7,7,7,8,9,9,9. 中位数为7,平均数为7, 方差为1 10× [(2-7)2+(6-7)2+(6- 7)2