6.3.1 二项式定理 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1　二项式定理 一、必备知识基础练 1.(x+2)n的展开式共有12项,则n=(　　) A.9 B.10 C.11 D.8 2.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数是(　　) A.-5 B.5 C.-10 D.10 3.使得3x+n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 4.(多选题)对于+x3n(n∈N*),下列判断正确的有(　　) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 5.若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　　.(用数字填写答案) 6.若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b=　　　　　. 7.已知n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示). 8.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除. 二、关键能力提升练 9.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是(　　) A.-297 B.-252 C.297 D.207 10.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.21 11.(x2+2)-15的展开式中的常数项是(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 12.-2+4-8+…+(-2)n=(　　) A.(-1)n-1 B.(-1)n C.3n D.3n-1 13.在3x2-n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 14.已知在x2-n的展开式中,第9项为常数项,则: (1)n的值为　　　　　; (2)含x的整数次幂的项有　　　　　个. 15.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　. 16.已知(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos θ=　　　　. 17.已知n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列. (1)证明:展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项. 18.已知xn的展开式中,前三项的二项式系数之和为37. (1)求含x的整数次幂的项; (2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论. 参考答案 一、必备知识基础练 1.C　∵(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有12项,∴n=11. 2.D　(1-x)5中x3的系数为-=-10,-(1-x)6中x3的系数为-×(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中x3的系数为10. 3.B　展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k.若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B. 4.AD　+x3n的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD. 5.　二项展开式的通项为Tk+1=x10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=a3x7,则a3=15,故a=. 6.44　∵(1+)4=1+×()1+×()2+×()3+×()4=1+4+18+12+9=28+16, ∴a=28,b=16, ∴a+b=28+16=44. 7.解∵, ∴n=17,Tk+1=2k. 令=1,得k=9. ∴T10=x4×29x-3=×29x. 故x的系数为29. 8.证明∵1+2+22+…+-1=32n-1=(31+1)n-1=·31n+·31n-1+…+·31+-1=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数, ∴原式能被31整除. 二、关键能力提升练 9.D　(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207. 10.B　∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+·23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3, ∴a2=6. 11.D　展开式的通项为Tk+1=·(-1)k=(-1)k. 令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5. 故(x2+2)·的展开式中的常数项是 (-1)4×+2×(-1)5×=3. 12.A　∵-2+4-8+…+(-2)n=1-2+4-8+…+(-2)n-1=(1-2)n-1=(-1)n-1. 13.B　Tk+1=(3x2)n-k-k=3n-k·-kx2n-5k,令2n-5k=0, ∴n=k. ∴正整数n的最小值为5.