4.2.2等差数列的前n项和公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式 引入新知 教学目标： 理解等差数列前n项和公式的推导过程，记忆公式的两种形式 掌握等差数列的前n项和公式，并能用公式解决相关问题 能运用等差数列的前n项和公式解答一些实际问题 能运用等差数列的通项公式与前n项和公式研究的最值问题 引入新知 高斯（Gauss，1777-1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一，他与阿基米德、牛顿齐名，在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都作出过杰出贡献，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”. 思考：为什么会如此巧妙的有1+100=2+99=…=50+51，能从数列的角度给出解释吗？ 50对 不同数的求和 相同数的求和 转化 问题1 高斯是近代伟大的数学家之一，据说，二百年前，高斯的算数老师提出了下面的问题：1+2+3+⋯+98+99+100=？ 新知探索 设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，… 等差数列中，下标和相等的两项和相等 方法1：原式 =（1+101）+（2+100）+（2+99）++（50+52）+101 = 50 = 5151 方法2：原式 =（1+2+3++98+99+100）+101 = 50 = 5151 你能用高斯的方法求1+2+3+⋯+98+99+100+101=？ 问题2 分类讨论 问题3 1+2+3+⋯+n=？ 所以对任意正整数，都有= 问题3 1+2+3+⋯+n=？ 倒序相加法 问题4 上述解法涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？ 问题4：上述解法涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？为了直观说明这个问题，我们来看一个图 我们在建筑工地常见一些管材如图这样堆放， 第一层1根 第二层2根 第n层n根 这堆管材根数就可以表示为 为了方便我们数这些数目，我们可以利用将多个不等数的求和转化成多个相等数的求和的思想，将这个图象倒置平移后跟原图组成一个平行四边形 这样，倒置的图形管材根数可以表示为+ 而整个四边形每一层有n+1根，一共有n层 所以：+n*(n+1) 从而可以得到 我们把这种通过倒序配对，把n个不同数的求和转化成n个相同数的求和方法求和方法叫做：倒序相加法， 问题5 这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 等差数列的前n项和公式 新知探索 已知，求 已知和，可以求其余一个量 前n项平均数等于首项与末项的平均数 还有其他方法得到此公式吗？ 问题6 如果已知能求出 新知探索 ,都有1+2+3++n= 这样我们也得到等差数列前n项和公式（2） 而且更明确了前面的系数的含义。 等差数列的前n项和公式 新知探索 已知，求 已知和，可以求其余一个量 等差数列{an}的相关公式及性质： 习题训练 练习：（1）等差数列{an}中,若， , 5,求n （2）等差数列中， 习题训练 例1 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 习题训练 习题训练 习题训练 例2 解： 习题训练 例3 等差数列{}满足＝11，＝2，前n项和为． （1）求数列{}的通项公式； （2）求的最大值． 习题训练 例3 等差数列{}满足＝11，＝2，前n项和为． （1）求数列{}的通项公式； （2）求的最大值． 习题训练 例4 习题训练 例4 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 3. 几种计算公差d 的方法: 4. 等差中项 m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 5. 等差数列的性质 d＝an－an－1 (n≥2) 归纳总结 $$