2024年成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 类型三～四 教学课件

二次函数综合题 微专题 问题： 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形． 找点： ①若AB为底，分别以点A，B为圆心， 大于 AB长为半径画弧，过两弧交点 作直线，与直线l的交点P即为所求； 满分技法 类型三　等腰三角形存在性问题(8年2考) 一阶 设问突破 ②若AB为腰，分别以点A，B为圆心，AB长为半径 画圆，与直线l的交点P1，P2，P3，P4即为所求． 求解方法： 对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解；若已知角相等也可通过全等或相似三角形求解． 例 　 如图，抛物线y＝－x2＋4x＋12与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，P是抛物线上的动点． (1)如图①，D是抛物线对称轴上一点，若点D的纵坐标为4 ，判断△ABD的形状，并说明理由； 例题图① 解：(1)△ABD为等边三角形，理由如下：如解图①，设抛物线对称轴与x轴交于点E.令y＝－x2＋4x＋12＝0，解得x＝－2或x＝6，∴A(－2，0)，B(6，0)，∴AB＝8，AE＝4.∵点D的纵坐标为4 ，即DE＝4 ，在Rt△AED中，tan ∠DAE＝ ，∴∠DAE＝60°.∵AD＝BD，∴△ABD为等边三角形； 例题解图① (2)如图②，连接PC，PO，当△PCO是以OC为底的等腰三角形时，求点P的坐标； 例题图② (2)如解图②，作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′，交CO于点D，则△POC和△P′OC是以OC为底的等腰三角形． 令x＝0，则y＝12，∴C(0，12)，∴OC＝12，CD＝OD＝6，∴点P的纵坐标为6， 例题解图② 当y＝6时，即－x2＋4x＋12＝6，解得x＝2＋ 或x＝2－ ，∴点P的坐标为(2＋ ，6)或(2－ ，6)； 例题解图② (3)如图③，D是抛物线对称轴上一点，连接BD，CD，当△CDB是等腰三角形时，求点D的坐标； 例题图③ (3)∵抛物线的对称轴为直线x＝2，设点D的坐标为(2，n).∵由(1)，(2)知C(0，12)，B(6，0)，∴BC2＝62＋122＝180，CD2＝22＋(12－n)2，BD2＝42＋n2，当△CDB是等腰三角形时，分以下三种情况：①当CD＝CB时，CD2＝CB2，即22＋(n－12)2＝180，解得n1＝12＋4 ，n2＝12－4 ；②当CD＝BD时，CD2＝BD2，即22＋(n－12)2＝42＋n2， 解得n3＝ ；③当BD＝CB时，BD2＝CB2，即42＋n2＝180， 解得n4＝2 ，n5＝－2 .综上所述，当△CDB是等腰三角形时， 点D的坐标为(2，12＋4 )，(2，12－4 )， (2， )，(2，2 )或(2，－2 )； 例题图③ (4)如图④，若点P在直线BC上方，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，连接OP交BC于点M，若△PQM是等腰三角形，求点M的坐标． 例题图④ (4)∵PQ∥y轴，∴∠COM＝∠QPM.∵∠CMO＝∠QMP，∴△PQM∽△OCM.∵△PQM是等腰三角形，∴△OCM也是等腰三角形．设yBC＝kx＋b(k≠0)，将B(6，0)，C(0，12)代入 得 解得 即yBC＝－2x＋12.点M在BC上，设点M坐标为(a，－2a＋12).∵P在BC上方，∴0＜a＜6. ①如解图③，当MP＝MQ时，MO＝MC，∴点M在OC的垂直平分线上，∴点M的纵坐标为6.当－2a＋12＝6时，解得a＝3，∴M点坐标为(3，6)； ②如解图④当MQ＝QP时，CM＝CO＝12， 作MH⊥y轴于点H，∴HM2＋HC2＝CM2，∴a2＋[12－(－2a＋12)]2＝122，解得a＝ (负值已舍去)，∴M点的坐标为( ，12－ )； 例题解图③ 例题解图④ ③当MP＝PQ时，则OM＝CO＝12.∵C(0，12)，∴a2＋(－2a＋12)2＝122，解得a＝ 或a＝0(均不符合条件，舍去).综上所述，△PQM是等腰三角形，点M的坐标为(3，6) 或( ，12－ ). 例题图④ 解题关键点 由于等腰△PQM的腰或底边都不确定，则需分三种情况讨论． 问题：已知点A，B，直线l