上海市闵行区2023-2024学年高三上学期学业质量调研（一模）数学试卷

2023学年第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1.已知集合，若，则实数________． 2.若，则=________. 3.若，则的最小值为________. 4.已知，则=________． 5.已知圆锥的底面周长为,母线长为，则该圆锥的侧面积为________. 6.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_____. 7.若将函数的图像向右平移个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则________． 8.已知,数列是公差为的等差数列，若的值最小，则________． 9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________． 10.若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为________． 11.已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________． 12.已知点在正方体的表面上，到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点的个数为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知，，则下列不等式中不一定成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 14.某校读书节期间，共名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取人.下列说法正确的是（ ） （A）高二和高三年级获奖同学共人 （B）获奖同学中金奖所占比例一定最低 （C）获奖同学中金奖所占比例可能最高 （D）获金奖的同学可能都在高一年级 15.已知复数、在复平面内对应的点分别为、,（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ） （A） （B） （C）的周长 （D）的面积 16.已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意，都有”是“在上为严格增函数”的充要条件. （A）①真命题；②假命题 （B）①假命题；②真命题 （C）①真命题；②真命题 （D）①假命题；②假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图,在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面,且,设分别为的中点. (1)证明:直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角所对边的边长分别为，且. (1)若,，求的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 其中、均为正整数,. （1）从这名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组、的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． （1）若，求的值； （2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；