5.4.2 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性（第1课时）（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 第 5章 三角函数 5.4.2正弦、余弦函数的周期性与奇偶性（第1课时） 目 录 1 学习目标 2 新课讲解 3 课本例题 4 课本练习 5 题型分类讲解 6 随堂检测 7 课后作业 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点) 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 情景导入 如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟?你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次. 如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几?你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等. 正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢? 想一想 【探究1】观察f(x)的部分图象,函数图象每相隔多少个单位重复出现? 【提示】每相隔1个单位重复出现. 【探究2】由诱导公式一:sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x. 结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的? 【提示】自变量x增加2π的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化. 探究： 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质? 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的． 1.周期性 （3） x∈R; 分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=, x∈R； 令,由得Z且的周期为即周期为2π. 即，, 于是， 所以 由周期函数的定义知，原函数的周期为4π. 思考： 回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗? 思考: 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助? sin(-x)= - sinx (xR) y=sinx (xR) x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  是奇函数 x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y cos(-x)= cosx (xR) y=cosx (xR) 是偶函数 定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性 课本练习 （1）奇函数； （3）奇函数； （2）偶函数； （4）奇函数. 题型一：三角函数的周期 【例1】求下列函数的周期. (1);(2). 解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期 (2)∵∴函数, ∴函数的最小正周期 题型分类讲解 【变式】求下列函数的周期. (1),;(2). 解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期 (2)∵∴函数, ∴函数的最小正周期 题型二：正、余弦函数的奇偶性 【例2】判断下列函数的奇偶性： (1);(2) 解：(1)定义域为，关于原点对称. ∵ ∴函数是奇函数. (2)据题意，定义域为实数R. ∵ ∴函数是偶函数. 【例2】判断下列函数的奇偶性： (3) 解：(3)∵即 ∴定义域为，定义域不关于原点对称 ∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 【变式】判断下列函数的奇偶性： (1); (2) (3) 解：(1)据题意，定义域为实数R，关于原点对称. ∵ ∴函数是偶函数. (2)据题意，定义域为实数R，关于原点对称. ∵ ∴函数是奇函数. 【变式】判断下列函数的奇偶性： (3) 解：(3)据题意，有即 所以定义域为，关于原点对称. ∵ , ∴函数是奇函数. 题型三：三角函数的奇偶性与周期的综合应用 【例3】下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解：是偶函数，是偶函数，是偶函数，是奇函数，且由周期公式可知其最小正周期为. 【变式】定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则等于（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解： 随堂检测