5.4.2 正弦、余弦函数的单调性与最值（第2课时）（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 第 5章 三角函数 5.4.2 正弦、余弦函数的单调性与最值 (第2课时) 目 录 1 学习目标 2 新课讲解 3 课本例题 4 课本练习 5 题型分类讲解 6 随堂检测 7 课后作业 学习目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 3.单调性 x ↗ 0 ↗ ↗ ↗ sin x -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 x ↗ ↗ 0 ↗ ↗ cos x -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 y x o y x o 4.最大值与最小值 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到， 解: 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． 分析: 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小． 正弦函数的图像 探究 余弦函数的图像 问题：它们的图像有何对称性？ 中心对称：将图像绕对称中心旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合． 轴对称：将图像绕对称轴折叠180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合． 正弦函数的图像 对称轴： 对称中心： 余弦函数的图像 对称轴： 对称中心： 课本练习 u y 1 -1 O y=sinx u y 1 -1 O y=sinu 题型一：正弦函数、余弦函数的单调性 【例1】求函数的单调区间. 解：令 则 即 所以函数的单调递增区间是 令 则 即 所以函数的单调递减区间是 题型分类讲解 【变式】求函数的单调区间. 解：据题意，函数的单调区间和函数的相反. 令 则 即 所以函数的单调递减区间是 令 则 即 所以函数的单调递增区间是 题型二：正弦函数、余弦函数单调性的应用 【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)与；(2)与； 解：(1)∵正弦函数在区间上单调递增， ∴>. (2)∵ ， 又正弦函数在区间上单调递增，∴，从而 即. 【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (3)与. 解：(3) ∵且函数在区间上单调递减， ∴即. 【变式】比较下列各组数的大小. (1)与；(2)与； 解：(1)，而 且函数在区间上单调递增， ∴即. (2) ∵函数在区间上单调递减，且 ∴即 【变式】比较下列各组数的大小. (3)与. 解：(3) ∵且函数在区间上单调递增， ∴ 即. 题型三：正弦函数、余弦函数的最值问题 【例3】求下列函数的值域. (1)；(2)； (3). 解：(1)∵∴ 令又在上单调递增，在上单调递减， ∴ ∴函数的值域为[,2]. 【例3】求下列函数的值域. (2)； (3). 解：(2)∵ 又时，0∴函数的值域为 (3)令 ∴在上单调递减， ∴当时，当时， ∴函数的值域为 【变式】求函数的最大值和最小值. 解：由正弦函数的性质知， 当时，， ∴ 当函数取得最小值， 当函数取得最大值， ∴函数在上的最大值是5，最小值是. 随堂检测 1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行． 2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形. 课堂小结 1．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 (　　) A．[0，π]　　　　　　　　 B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D．[π，2π] 解析：由正弦曲线知y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数． 答案：C　 2．[求y＝asin x型最值]函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))的值域是 (　　) A．[1,3]　　　　　　 B．[－1,3] C．[－3,1] D．[－1,1] 解析：∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))，∴sin x∈[－1,1]， ∴－2sin x＋1∈[－1,3]． 答案：B　 3．[求参数]若函