1.3 勾股定理的应用2023-2024学年北师大版八年级上册数学

第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 1 2.会将实际问题抽象成几何图形，构造直角三角形解题. 一、学习目标 1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. 二、新课导入 伐木工小戴家里最近装修，正在准备家里的木材，已知门高3.6m，宽1.5m，现有一长为3.9m的木材，小戴能把他运进家吗？ 三、典型例题 例1：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ B A 三、典型例题 （1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？ B A d A B B' A B B A D A' 蚂蚁A→B的路线 ① ② ③ ④ （2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？ 三、典型例题 A B D B' A' 按照(1)中路线的走法： ①A-A'-B ②A-B'-B ③A-D-B ④A-B ∵两点之间线段最短 ∴第④路线最短 （3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 三、典型例题 9 A B 12 已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm， 则: AO=12,OB=9, AB2 =AO2+OB2=122+92 ∴AB=15 O 归纳总结 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 三、典型例题 【当堂检测】 1.如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ B A 【当堂检测】 B A B 如图为正方体侧面展开图，构造直角三角形，即AB为最短路线， ∵AB2=202+102=500， 又∵蚂蚁的爬行速度为1cm/s， ∴500>202 ∴不能在20 s内从A爬到B. 2.六块完全相同的长方体方砖如图所示整齐的叠在一起，其中AE=1，DE=3，BC=6．若一只蚂蚁要从点A处爬到 点B处，则它爬行的最短距离为多少？ 【当堂检测】 解：如图所示： 蚂蚁爬行的路径=AB2=(3+1+3+1)2+62＝102， ∴蚂蚁爬行的最短距离是10． 例2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ 三、典型例题 A C D B 连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 三、典型例题 （2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，点B,D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？ 如图AD2+AB2=302+402=502=BD2， 根据勾股定理的逆定理可得△ABD为直角三角形 A C D B ∴边AD垂直于边AB. 连接对角线BD, 三、典型例题 （3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？ 在AD上取点M,使AM=9, 在AB上取点N使AN=12, 测量MN的长度， 若MN=15，则AD垂直于AB. 同理，可检验BC是否垂直于AB. A C D B M • • N 例3：如图所示是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. 三、典型例题 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2 即（x-1）2+32 =x2 ，解得x=5 故滑道AC的长度为5m. 【当堂检测】 3．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，已知两人从同地出发.某日早晨 8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以 5 km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？ 解：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点.则: AB=2×6=12(km)， AC=1×5=5(km). 在Rt△ABC中， ∴BC=13(km)， 即甲乙两人相距13 km. 【当堂检测】 4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【当堂检测】 D A B C