4.5 相似三角形判定定理的证明2023-2024学年北师大版九年级上册数学

*4.5 相似三角形判定定理的证明 第四章 图形的相似 1.会证明相似三角形判定定理. 2.能运用相似三角形的判定定理解决相关问题. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 活动：在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明． 1.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B=∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． 任务一：会证明相似三角形判定定理 A' B' C' A B C 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 过点D作AC的平行线,交BC于点F，则 . . ∴△ADE∽△ABC. ∴∠1=∠B，∠2 =∠C， . A' B' C' A B C 证明：在AB上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E. 1 2 E D F ∵DE∥BC, DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF， . . 而∠1=∠B，∠DAE =∠BAC，∠2=∠C， ∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'， ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 证明：在A'B'上取点D，使A'D=AB．过点D作DE∥B'C'， 交A'C'于点E 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△A'DE∽△A'B'C'. ∵ A'D=AB， ， ∴ . ∴ A'E = AC. ∴△A'B'C'∽△ABC. ∴△A'DE≌△ABC, 而∠A'=∠A，AB=A'B'. 2.如图，在△ABC与△A'B'C'中，已知∠A=∠A'， 求证：△ABC∽△A'B'C'. B A C B' A' C' D E 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 3.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中， 求证：△ABC∽△A'B'C'. ∴DE=B'C',AE=A'C'. 证明：在AB上取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E. ∵DE//BC， 又∵AD=A'B'， ， ∴ . ∴△ABC∽△ADE. ∴△ADE ≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. D E A' B' C' A B C 定理3:三边成比例的两个三角形相似. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 相似三角形的判定定理的应用. 1.如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似,则这样的点P存在的个数有多少个? 活动： 任务二：能运用相似三角形的判定定理解决相关问题 解：连接AP、BP，设DP=x,则PC=7-x. 综上所述：点P存在个数有3个. 当△PAD∽△PBC时， 此时 ， 当△PAD∽△BPC时， 此时 ， 即 ， . 即 ， . 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，点P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2=PE·PF. 解：连接CP， ∵AB=AC，AD是中线， ∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB， ∴BP=CP，∠PBC=∠PCB， ∴∠ABP=∠ACP， ∵CF∥AB， ∴∠ABP=∠PFC， ∴∠ACP=∠PFC， 又∠EPC=∠CPF， ∴△CPE∽△FPC， ∴CP2=PE·PF， ∴BP2=PE·PF. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 练一练 矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时，DP的长是（　　） A.2 B.6 C.2或6 D.2或8 D 1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） ① ② ③ ④ ①③ 活动探究 课堂总结 当堂检测 学习目标 2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且