专题 二次函数压轴训练题（五）---与角度有关的问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第5章 二次函数》 专题 二次函数压轴训练题（五） ------与角度有关的问题 ★★★方法指引： 解决与角度有关的存在性问题的方法： 一、等角存在性问题的方法……交点法 （1） 分类讨论：一般分两类，一是点在x轴上方；二是点在x轴下方. （2） 画图找点：根据题意画草图找点帮助分析. （3） 设点求解：构造等腰三角形或直角三角形求过动点的直线对应的函数解析式，利用直线和抛物线交点求法即可求解. 二、二倍角存在性问题的方法： 二倍角求动点可以转化为角相等去求，转化的方法主要有三种：一是作角平分线，一是作等腰三角形，三是利用直角三角形斜边中线转化. 题型一 等角存在性问题 【典例1】如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点． （1）试求抛物线解析式； （2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； 【变式1-1】 （2022•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标． 【变式1-2】 （2022秋•临淄区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标． 【变式1-3】 （2023•惠东县一模）如图，直线yx+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线ybx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标； （3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标． 【变式1-4】 如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m． （1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式； （2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标． 【变式1-5】如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B点，C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）将△AOC绕坐标原点O顺时针旋转90°，点C的对应点为点C'，点C'是否落在抛物线上？说明理由． （3）P为抛物线上直线BC上方的一点，当四边形PCOB面积最大时，求点P的坐标； （4）点D（2，n）在抛物线上，连接BC，BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-6】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）． （1）该抛物线的表达式为 　 　； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-7】（2023•济南模拟）如图，抛物线y1＝ax2+bx与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）． （1）求抛物线y1所对应的函数解析式； （2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC， 若∠MCB＝∠DAC，求m的值； （3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标． 【变式1-8】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3），C（2，n）两点，直线l：yx+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直