27.2.3　相似三角形应用举例 教案 2023-2024学年 人教版数学九年级下册

27.2.3　相似三角形应用举例 教学目标： 1.会利用相似三角形的性质测量物体的高度. 2.经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 3.进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力. 教学重难点： 重点:经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 难点:进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力. 教学过程： 导入 怎样测量这些非常高大的物体的高度? 讲授新课 知识点1　利用相似三角形测量高度 合作探究 据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度. [设计意图] 以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义. 如图所示,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO. [教师引导分析] (1)太阳光线与物体及其影子组成的△AOB与△DFE相似吗? 答案:由太阳光线平行,得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得△AOB与△DFE相似. (2)如何求OA的长? 答案:金字塔的影子是等腰三角形,则OA的长等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和. (3)写出你的求解过程. [师生活动] 学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程. 解:因为太阳光线是平行光线,因此∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90°, 所以△ABO∽△DEF. 所以=. 所以BO= = =134(m). 因此金字塔的高度BO为134 m. [归纳总结] 测量不能到达顶部的物体的高度 测高方法: 可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式:物1高∶物2高=影1长∶影2长. 范例应用 例1　 如图所示,要测量旗杆AB的高度,可在地面上竖一根竹竿DE,测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可,则下面能用来求AB长的等式是(C) A. = B. = C.= D. = 例2　如图所示,九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度,当身高1.6 m的楚阳同学站在C处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,同一时刻,其他成员测得AC=2 m,AB=10 m,则旗杆的高度是　8　 m. [点拨] = . 想一想:还可以用其他方法测量吗? [师生活动] 学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,归纳测量物体高度的其他方法. 解:如图所示,利用平面镜构造直角三角形. 因为∠EAF=∠BAO,∠EFA=∠BOA, 所以△ABO∽△AEF. 所以=. 则OB=. 所以利用平面镜构造直角三角形也可测量物体的高度. [设计意图] 提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量物体高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力. 例2　 如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙的顶端C处,已知AB=2 m,且测得BP=3 m,DP=12 m,那么该古城墙的高度是(B) A.6 m B.8 m C.18 m D.24 m 知识点2　利用相似三角形测量宽度 如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河宽PQ. [师生活动] 学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生. 解:因为∠PQR=∠PST=90°,∠QPR=∠SPT, 所以△PQR∽△PST. 所以=. 所以 =, 即=. 所以PQ×90=(PQ+45)×60, 解得PQ=90(m). 因此,河宽大约为90 m. 追问:还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗? [师生活动] 学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以. 如下题也可以应用相似三角形的性质测量河宽. 如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,BC和AE的交点为D.此时如果测得BD=80 m,DC=30 m,EC=24 m,求河宽AB. 解: