27.2.2　相似三角形的性质 教案 2023-2024学年人教版数学九年级下册

27.2.2　相似三角形的性质 教学目标： 1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比;理解相似三角形面积的比等于相似比的平方,并运用其解决问题. 2.经历对三角形问题进行探究的过程,进一步增强学生领会转化的思想方法. 3.通过对性质的发现和论证过程,感受数学活动中充满着探索,提高学习热情,增强探究意识. 教学重难点： 重点:理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比;理解相似三角形面积的比等于相似比的平方,并运用其解决问题. 难点:经历对三角形问题进行探究的过程,进一步增强学生领会转化的思想方法. 教学过程： 导入 三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素? 答案:还有高、中线、角平分线、周长、面积等要素. 如果两个三角形相似,那么,对应的这些要素有什么关系呢?本节课我们就来探究对应的这些要素有什么关系? 讲授新课 知识点1　相似三角形对应线段的比 合作探究 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少? [探究1] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的高,求它们对应高的比. 解:因为AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的高, 所以∠ADB=∠A'D'B'=90°. 因为△ABC∽△A'B'C', 所以∠B=∠B'. 所以△ADB∽△A'D'B'. 所以==k. [探究2] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,求证: =k. 证明:因为△ABC∽△A'B'C', 所以∠B=∠B', = =k. 因为AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线, 所以BD= BC,B'D'= B'C'. 所以 = =k. 所以△ABD∽△A'B'D'. 所以==k. [探究3] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线,求证: =k. 证明:因为△ABC∽△A'B'C', 所以=k,∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'. 因为AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线, 所以∠BAD= ∠BAC, ∠B'A'D'=∠B'A'C'. 所以∠BAD=∠B'A'D'. 所以△ABD∽△A'B'D'. 所以==k. [归纳总结] 相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比.一般地,相似三角形对应线段的比等于相似比. 范例应用 例1　如图所示,已知△ABC∽△DEF,BG,EH分别是△ABC和△DEF的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长. 解:因为△ABC∽△DEF,BG和EH是角平分线, 所以 = . 所以 = , 解得EH=3.2 cm. 想一想:相似三角形周长的比也等于相似比吗?为什么? [探究4] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,求证:C△ABC∶C△A'B'C'=k. 证明:因为△ABC∽△A'B'C', 所以===k. 所以BC=k·B'C',AB=k·A'B', AC=k·A'C'. 所以= = =k. [结论] 相似三角形周长的比等于相似比. 知识点2　相似三角形面积的比 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们的面积比是多少? 解:如图所示,分别作AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于点D'. 由前面的结论,我们有 =k, =k. 所以==·=k·k=k2. [归纳总结] 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 范例应用 例2　如图所示,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为12,求△DEF的边EF上的高和面积. 解:在△ABC和△DEF中, 因为AB=2DE,AC=2DF, 所以 = =. 又因为∠A=∠D, 所以△DEF∽△ABC,相似比为1∶2. 因为△ABC的边BC上的高为6,面积为12, 所以△DEF的边EF上的高为×6=3, 面积为2×12=3. 例3　如图所示,D,E分别是AC,AB上的点,已知△ABC的面积为100 cm2,且 = = ,求四边形BCDE的面积. 解:因为∠BAC=∠DAE, 且 = = , 所以△ADE∽△ABC. 因为它们的相似比为3∶5, 所以面积比为9∶25. 又因为△ABC的面积为100 cm2, 所以△ADE的面积为100× =36(cm2). 所以四边形BCDE的面积为100-36=64(cm2). 课堂训练 1.已知两个三角形相似,请完成下列表格: 相似比 2 　100　  k 周长比 　2　  100 　k　  面积比 　4　  　　  10 000 　k2　  2.把一个