27.2.1　相似三角形的判定第3课时　相似三角形的判定(二) 教案 2023-2024学年 人教版数学九年级下册

27.2.1　相似三角形的判定 第3课时　相似三角形的判定(二) 教学目标： 1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2.掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算. 3.经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的探究、交流和推理能力. 教学重难点： 重点:掌握相似三角形的判定定理(3)及直角三角形中特有的相似判定方法. 难点:探究两个判定定理的过程及其证明方法. 教学过程： 导入 我们学过哪些判定三角形相似的方法? 法一　通过定义(不常用) 如图①所示,因为 = = , ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F, 所以△ABC∽△DEF. 法二　通过平行线 如图②所示,因为DE∥BC, 所以△ABC∽△ADE. 法三　三边对应成比例 如图③所示,因为 = =, 所以△ABC∽△DEF. 法四　两边对应成比例且夹角相等 如图④所示,因为=,∠A=∠D, 所以△ABC∽△DEF. 讲授新课 知识点1　两角分别相等的两个三角形相似 合作探究 与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A'B'C',使∠A=∠A'=40°,∠B=∠B'=55°,探究下列问题: 问题1:度量AB,BC,AC,A'B',B'C',A'C'的长,并计算出它们的比值,你有什么发现? 解:这两个三角形是相似的. 问题2:试证明△A'B'C'∽△ABC. 证明:如图所示,在△ABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E,则有△ADE∽△ABC,∠ADE=∠B. 因为∠B=∠B',所以∠ADE=∠B'. 又因为AD=A'B',∠A=∠A', 所以△ADE≌△A'B'C'. 所以△A'B'C'∽△ABC. [归纳总结] 利用两组角判定两个三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言: 如图所示,因为∠A=∠A',∠B=∠B', 所以△ABC∽△A'B'C'. 范例应用 例1　如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=50°,∠B=75°,∠A'=50°,当∠C'=　55°　时,△ABC∽△A'B'C'.  例2　如图所示,在△ABC中,D是AB上的点,且∠ACD=∠B. (1)求证:△ABC∽△ACD; (2)若AD=4,AC=6,求AB的长. (1)证明:在△ABC和△ACD中, 因为∠A=∠A,∠B=∠ACD, 所以△ABC∽△ACD. (2)解:因为△ABC∽△ACD,所以 =. 所以AB= =9. 例3　 如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC. 证明:因为DE∥BC,EF∥AB, 所以∠AED=∠C, ∠A=∠FEC. 所以△ADE∽△EFC.(两角分别相等的两个三角形相似) 知识点2　判定两个直角三角形相似 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长. 解:因为ED⊥AB,所以∠EDA=90°. 又∠C=90°,∠A=∠A, 所以△AED∽△ABC. 所以=. 所以AD= = =4. [归纳总结] 直角三角形相似的方法:有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 思考:对于两个直角三角形,我们还可以用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗? 如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=90°,∠C'=90°,=. 求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 证明:设 = =k, 则AB=kA'B',AC=kA'C'.由勾股定理,得 BC=,B'C'=. 所以====k. 所以 ==. 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. [归纳总结] 判定直角三角形相似的方法:斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 范例应用 例4　在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1)∠A=35°,∠B'=55°; (2)AC=3,BC=4,A'C'=6,B'C'=8; (3)AB=10,AC=8,A'B'=25,B'C'=15. 解:(1)这两个三角形相似. (2)这两个三角形相似. (3)这两个三角形相似. 例5　如图所示,已知∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=,当AB的长为多少时,△ACB与△ADC相似. 解:因为∠ADC=90°,AD=2,CD=, 所以AC===. 要使这两个直角三角形相似,有两种情况: (1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有AC∶AD=AB∶AC, 即∶2=AB∶,解得AB=3. (2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有AC∶CD=AB∶AC, 即∶=AB∶,解得AB=3. 所以当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似. 课堂训练 1.如图所示,若P是R