第九章多边形第一讲 与三角形有关的线段2023-2024学年华东师大版七年级下册数学讲义

第9章 第一讲 与三角形有关的线段 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 类型一、三角形的定义及表示 1．如图所示． (1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来； (2)线段AE是哪些三角形的边? (3)∠B是哪些三角形的角? 2．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是( ). 3．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，△ABC中，AB与BC的夹角是____，∠A的对边是____，∠A、∠C的公共边是____． 2．三角形的分类 (1)按角分类： 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 练习 1. 三角形按边分类可分为（　　） A. 不等边三角形、等边三角形 B. 等腰三角形、等边三角形 C. 不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 D. 不等边三角形、等腰三角形 2．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 3．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．0 要点三、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 练习 1. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( ) 2.判断下列三条线段能否构成三角形. (1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______. 4．如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（　　） 　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 5．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ). A．5m B．15m C．20m D．28m 6． 如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm． 7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果为（　　） A．2a+2b B．2a+2b﹣2c C．2b﹣2c D．2a 8．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|． 要点四、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高