立体几何空间角 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

立体几何求空间角 异面直线夹角+直线与平面夹角+平面与平面夹角 一、异面直线所成的角 用向量法求异面直线所成角的步骤 【例1】例题在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【详解】答案 A 解析 (方法1)如图,取BC的中点O,连接OP,OA. 因为△ABC和△PBC均为等边三角形, 所以AO⊥BC,PO⊥BC, 所以BC⊥平面PAO,即平面PAO⊥平面ABC. 所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°, 建立空间直角坐标系如图所示. 设AB=2, 则A(,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),P-,0,, 所以=(-,-1,0),=(,1,-). 所以cos<>==-, 故异面直线PB与AC所成角的余弦值为. (方法2)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA. 因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形, 所以AO⊥BC,PO⊥BC, 所以∠POA就是二面角的平面角. 设AB=2,则. 故=()·()=-. 所以cos<>==-, 故异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 【练习1】 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为, 求λ的值. 【详解】 2、直线与平面所成的角 求直线与平面所成角 【例2】 (2022·全国乙,理18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD, ∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 【详解】 (1)证明 ∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD, ∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB. 又E为AC的中点,AD=CD, ∴DE⊥AC,BE⊥AC. 又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED. 又AC⊂平面ACD, ∴平面BED⊥平面ACD. (2)解 如图,连接EF,由(1)知AC⊥平面BED. ∴EF⊥AC,∴当△AFC的面积最小时,EF最小. 在△BDE中,若EF最小,则EF⊥BD. ∵AB=CB=2,∠ACB=60°, ∴△ABC为等边三角形, ∴AC=2,BE= . ∵AD⊥CD,AD=CD, ∴△ACD为等腰直角三角形, ∴DE=1. 又BD=2,∴DE2+BE2=BD2, ∴BE⊥DE. 由(1)知DE⊥AC,BE⊥AC,则以E为原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 【练习2】 (2023·江苏镇江模拟)如图所示,在三棱柱中,AB=BC,点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D,侧面是边长为2的菱形. (1)若△ABC是正三角形,求异面直线与BC所成角的余弦值; (2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求线段BD的长. 【详解】 解 (1)依题意,点A1在平面ABC上的射影为线段AC的中点D,所以A1D⊥平面ABC,A1D⊥CD,A1D⊥BD, 由于AB=BC,所以BD⊥CD, 以D为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系, A1(0,0,), C(0,1,0), 3、 平面与平面的夹角 利用空间向量求二面角 【例3】 (2022·新高考Ⅰ,19)如图,直三棱柱的体积为4,的面积为 . (1)求A到平面的距离; (2)设D为的中点,=AB,平面⊥平面,求二面角A-BD-C的正弦值. 【详解】 (1)由题意可得,S△ABC·AA1=×4=.设点A到平面A1BC的距离为d, 则·d=×2·d=, ∴d=. (2)连接AB1交A1B于点E,如图. 【练习3】 (2022·新高考Ⅱ,20)如图,PO是三棱锥P-ABC的高, PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点. (1)证明:OE∥平面PAC; (2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值. 【详解】(1)证明 连接OA,OB,如图所示. ∵PO是三棱锥P-ABC的高, ∴PO⊥平面ABC, ∴PO⊥OA,PO⊥OB,∠POA=∠POB=90°.