第二章对称图形——圆专题 通过添加辅助圆（隐圆）求解问题 2023-2024学年苏科版九年级数学上册

九年级 对称图形—圆专题： 通过添加辅助圆（隐圆）求解问题 学科网（北京）股份有限公司 专题：通过添加辅助圆（隐圆）求解问题 类型一：共端点，等线段添加辅助圆 例1：如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD.求证：∠1+∠2=90°. 巩固训练1：如图，在四边形ABCD中，，，若，，则AB的长为_________． 巩固训练2：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点 B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E.求证：∠1=∠2. 巩固训练3：已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=，BC=，且求BD的长. 类型二：直角三角形共斜边（对角互补）添加辅助圆 例2：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心. （1） 求图中有多少组四点共圆. （2） 求证：∠ADF=∠ADE； 巩固训练4：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　 　． 巩固训练5：如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG∥BC. 巩固训练6：如图，BE、CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交BC于点D.求证：AD⊥BC. 类型三：直角动点添加辅助圆 例3：如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为 . 巩固训练7：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是 . 巩固训练8：如图，在边长为2的正方形中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达停止)，在运动过程中，则线段CP的最小值为________． 类型四：定弦定角添加辅助圆 例4：在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为 　 　． 巩固训练9：如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为　 　． 巩固训练10：等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E、F，连接AF、BE相交于点P. （1）若AE=CF. ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求的值. （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P所经过的路径长. 参考答案 类型一：共端点，等线段添加辅助圆 例1：证明如下 如图所示，∵AB=AC=AD， ∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上，∠ABC=∠2， ∴∠BAC=2∠1. 在△BAC中， ∠BAC+∠ABC+∠2=180°, ∴2∠1+2∠2=180°, ∴∠1+∠2=90°. 巩固训练1： 如图，以B为圆心，BC为半径作⊙B，延长BC交B于点C′，连接DC′， 则∠CDC′=90° ∵AD∥BC ∴∠ADC =∠DCC ∴AC =DC′=2， 在Rt△CDC′中， 有CC′2=DC′2+CD2，CD=4， ∴CC′=， ∴AB=BC=CC′=. 巩固训练2：证明如下 ∵D，B两点关于直线AP对称， ∴AP是线段BD的垂直平分线， ∴AD =AB，DE = BE， ∵AB = AC， ∴AB = AC = AD， ∴点D，B，C在以点A为圆心， 以AB为半径的圆上， ∴∠1=2∠BDC， ∵DE = BE， ∴∠BDE =∠DBE， ∵∠2= ∠BDE+∠DBE， ∴∠2 =2∠BDE， ∴∠1= ∠2. 巩固训练3：BD= 以A为圆心，以为半径作圆。延长BA交圆A于点E，连接ED. ∵AB//CD， ∴∠CAB = ∠DCA，∠DAE = ∠CDA， ∵AC =AD， ∴∠DCA=∠CDA， ∴∠DAE =∠CAB， 在△CAB和△DAE中， ∴△CAB≌△DAE ∴ED=BC= ∵BE是直径， ∴∠EDB=90°， 在Rt△EDB中，ED=，BE= ∴BD= 类型二：直角三角形共斜边（对角互补）添加辅助圆 例2：（1）6组 （2）见解析 （1）六组:A，F，H，E 四点共圆；B，F，H，D四点共圆；C，D，H，E四点共圆；B，C，E，F四点共圆；A，B，D，E四点共圆；A，C，D，F四点共圆. （2）易证B，D，H，F四点共圆， 则∠ADF=∠ABE 同理，∠ADE=∠ACF ∵∠ABE+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°， ∴∠ABE=∠ACF， ∴∠ADF=∠ADE. 巩固训练4： ∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴A，B，C，D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O， 连接AO，CO，取CO中点F，连接EF，DF， ∵∠