吉林省长春市2023年九年级中考数学一轮复习正方形的性质和判定

吉林省长春市中考一轮复习正方形的性质和判定 知识点 正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD. 1. 正方形的性质 正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下： ①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD） ②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD） ③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°） ④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD， AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA 的角平分线） ⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它 的两条对角线所在的直线（AC，BD）） 2. 正方形的判定 正方形的判定方法： ①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②有一个角是直角的菱形是正方形. 判定正方形的思路图： 3. 拓展 正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 对应训练 一、选择题 1．如图，在边长为的正方形中，是对角线上一点，且，点是上一动点，则点到边，的距离之和的值（　　） A．是定值 B．是定值 C．有最小值 D．有最大值 2．如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在坐标轴上，则点的坐标是（　　）． A． B． C． D． 4．如图，F是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点E．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．取一张边长为的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，折痕为AF，若CD＝6（　　） A． B． C． D．8 10．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接AE，则∠ADE为（　　） A．120° B．130° C．150° D．160° 二、填空题 11．如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接，，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，的面积为　 　． 12．如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，分别是正方形的对称中心，则个这样的正方形重叠部分的面积和为　 　． 13．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点M，N．记的面积为S1，的面积为S2，若正方形的边长，S1=16，则S2的大小为　 　． 14．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为　 　． 15．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P在正方形ABCD内，△PBC是等边三角形，则△PBD的面积为_　 　． 16．如图，在正方形中，点在上，且：：，点为的中点，连接，，则　 　． 17．如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为　 　． 18．如图，正方形的对角线在直线上，点在第一象限．若正方形的面积是，则点的坐标为　 　． 19．如图，在 中， ，以 为边作正方形 ，连接 ，则 的长为　 　． 20．如图，边长为的正方形，点是对角线上一动点，点在边上，，则的最小值是　 　 ． 三、解答题 21．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 22．如图所示，在正方形中，，点为边的中点，为边上一动点，满足． （1）求的长． （2）求的面积． 23．如图，四边形是正方形，以为