1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行 一、必备知识基础练 1.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是(　　) A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1) 2.已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是(　　) A.(2,3,1) B.(1,-1,2) C.(1,2,1) D.(1,0,3) 3.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是　　　　. 4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是　　　　　. 5.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标为　　　　　. 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1. 二、关键能力提升练 7.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是(　　) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 8.如图,在三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1, D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在B1P上,则下列结论正确的是(　　) A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD B.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD 9.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y=　　　. 10.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　　　　　　　. 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值. 参考答案 一、必备知识基础练 1.ABC　若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0, 根据选项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选ABC. 2.D　=(1,1,1),=(1,2,-1). 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), ∴ 不妨令x=3,则y=-2,z=-1,∴n=(3,-2,-1). ∵(3,-2,-1)·(1,0,3)=0,∴在平面ABC内的点是(1,0,3).故选D. 3.α∥β　设平面α的法向量为m=(x,y,z), 由m·=0,得x·0+y-z=0,即y=z,由m·=0,得x-z=0,即x=z,取x=1, 所以平面α的一个法向量m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β. 4.-3　∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1), ∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y), ∴∴m=-3. 5.(1,-1,-1)(答案不唯一)　由已知可得=(1,1,0),=(2,0,2). 设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则 不妨取x=1,得y=z=-1. 所以平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1). 6.证明 以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1), ∴=(1,0,1),=(-1,1,0), 设=(a,b,c),则 取=(1,1,-1). 易知=(-1,-1,1),∴=-, ∴,即PQ∥BD1. 二、关键能力提升练 7.ACD　因为, , 所以,从而A1M∥D1P,易得ACD正确. 又B1Q与D1P不平行,故B不正确. 8.D　以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,